Solido di rotazione

[leffy13]

Sia V il solido di rotazione in $RR^3$ ottenuto girando il grafico di $y=3 sqrt(−z)$, $z in [−4, 0]$ rispetto all’asse Oz.
- calcolare il volume di V.
- Verificare che il bordo laterale $delV$ è una superficie regolare e calcolare l’area di $delV$ .

come dovrei procedere??

[Luca.Lussardi]

Teoricamente è un facile problema di integrazione: per il volume basta integrare la sezione piana del solido lungo l'asse z, dunque un cerchio, mentre per l'area laterale basta integrale la circonferenza bordo del cerchio precedente lungo l'asse z.

[franced]

"leffy13":Sia V il solido di rotazione in $RR^3$ ottenuto girando il grafico di $y=3 \sqrt(-z)$, $z \in [-4, 0]$ rispetto all’asse Oz.
- calcolare il volume di V.
- Verificare che il bordo laterale $delV$ è una superficie regolare e calcolare l’area di $delV$ .

come dovrei procedere??

Il tuo solido è un paraboloide circolare.

Infatti, quando si ruota attorno all'asse delle $z$ basta sostituire alla $y$ il "pezzo" $\sqrt(x^2+y^2)$:

$\sqrt(x^2+y^2) = 3 \sqrt(-z)$.

Sarebbe interessante (ma non conveniente, lo so..) usare Pappo-Guldino per trovare il volume.

[franced]

Per la cronaca l'equazione del paraboloide circolare viene:

$z = -(x^2+y^2)/9$