Sistemi: combinazioni lineari

[dagg3r]

Ciao a tutti. La mia professoressa di geometria, commette spesso degli errori durante le lezioni e, rivedendo i miei appunti sui sistemi lineari, mi sono sorti dei dubbi su alcune equazioni. Nel dettaglio:
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Primo sistema:
$\{(x+3y-z=0),(2x+y-3z=0),(-x-8y=0):}$

Sostiene che la 3°eq. sia combinazione lineare delle altre due.
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Secondo sistema:
$\{(2x-y=1),(2x-3y=3),(x-y=1):}$

Sostiene che le prime due equazioni sono indipendenti tra loro. Si considera perciò la terza come comb. lineare
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Terzo sistema:
$\{(2x-y=7/2),(2x-3y=3),(x-7/2y=1):}$

Sostiene che la prima eq. è linearmente dipendente dalle altre due.
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Se queste affermazioni sono corrette, non ho capito il concetto di combinazione lineare.


Ecco un mio esempio di combinazione lineare:
$\{(x+3y+z=0),(2x+y-2z=0),(-x+2y+3z=0):}$
In questo caso la terza equazione è combinazione lineare delle altre due (perciò possiamo eliminarla e trovare le soluzioni del sistema utilizzando solo le prime due) perchè avremo che:
(x - 2x = -x), (3y - y = 2y), (z - (-2z) = 3z).


In conclusione, vorrei sapere:
-sono corrette le tre affermazioni della mia professoressa?
-Se la risposta è si, dove sbaglio?

[_prime_number]

1. La terza riga è uguale alla somma della prima moltiplicata per $-3$ e della seconda.

2. Le prime due righe non possono essere combinazione l'una dell'altra. Le $x$ hanno lo stesso coefficiente ma le $y$ no! Se sapete a priori che il sistema è determinato, da qui si conclude la stessa cosa della tua professoressa. Infatti per un sistema determinato in 2 variabili si possono avere al massimo 2 condizioni linearmente indipendenti. Un sistema del genere potrebbe anche essere impossibile, ma immagino vi stesse facendo esempi di sistemi con soluzione.

3. Idem come 2.

In generale una combinazione lineare di due (o più!) vettori $v,w$ è una cosa del tipo $a v + b w$ con $a,b$ costanti.

Paola

[dagg3r]

Esatto, erano esempi di sistemi con soluzione. Infatti poi arriva a trovare una soluzione ma è evidentemente sbagliata per via di questi errori.

Grazie mille per la risposta Paola.