Sistema "a gradini".
Perchè un sistema " a gradini" è sempre compatibile?
Per sistema "a gradini", intendo un sistema in cui il numero di incognite con indice più basso che non compare nelle equazioni successive alla prima aumenta progressivamente. (Se poteste correggere questa precaria definizione, ve ne sarei grato).
(so bene che molti di voi sapevano già di cosa parlassi, ma su internet non ho trovato niente a proposito di un siffatto sistema).
Per sistema "a gradini", intendo un sistema in cui il numero di incognite con indice più basso che non compare nelle equazioni successive alla prima aumenta progressivamente. (Se poteste correggere questa precaria definizione, ve ne sarei grato).
(so bene che molti di voi sapevano già di cosa parlassi, ma su internet non ho trovato niente a proposito di un siffatto sistema).
Risposte
un po' ne abbiamo parlato di recente:
https://www.matematicamente.it/forum/ris ... 33001.html
comunque io consiglio vivamente questa dispensa. La definizione di matrice a gradini è a pagina 87.
https://www.matematicamente.it/forum/ris ... 33001.html
comunque io consiglio vivamente questa dispensa. La definizione di matrice a gradini è a pagina 87.
Mah, io non ho ancora affrontato, mai in vita mia, le matrici. Di conseguenza, se questa dimostrabilità presunta possa esistere solo grazie ad esse, o meglio, grazie alla formalizzazione di un sistema che esse attuano (mi riferisco a presunte proprietà delle matrici stesse in grado di risolvere determinati dubbi relativamente a un sistema), aspetterò il momento opportuno per non fare troppa confusione.
Grazie, dissonance!
Grazie, dissonance!
No ma guarda che nel caso a gradini è molto più facile di quanto non sembri. Lasciando perdere le matrici, un sistema lineare si dice "a gradini" se, procedendo dall'altro in basso, ogni equazione ha qualche incognita in meno. (Un po' alla buona come definizione, ma funziona, come del resto anche quella che hai dato tu. Se vuoi una definizone più rigorosa è meglio aspettare di affrontare il concetto di matrice).
Questo ti permette di innescare un algoritmo di risoluzione dal basso verso l'alto. Come? Purtroppo non riesco a scrivere bene in MathML il caso generale (e tanto mi pare di capire che lo studierai più avanti) quindi ti rispondo con un esempio:
${(ax+by+cz=0), (z=1):}$ è un sistema a gradini. Nella seconda equazione già leggi $z=1$. Sostituisci nella prima, e ottieni $ax+by=-c$, quindi $x=(-c-by)/a$ (almeno uno tra $a$ e $b$ deve essere $!=0$ sennò non sarebbe un sistema a gradini. Supponiamo $a!=0$). Questo si chiama risolvere il sistema, perché se chiamiamo $y=t$ e facciamo variare liberamente la $t$, le relazioni che hai trovato (${(x=(-c-bt)/(a)),(y=t),(z=1):}$) ti dicono tutte le possibili soluzioni.
Questa non è una spiegazione del concetto di "sistema a gradini" ma semplicemente un dare un'idea del perché un sistema a gradini sia (non sempre) risolubile: perché possiamo trovare un algoritmo che ci porta alla soluzione, oppure si inceppa perché la soluzione non c'è. E' una dimostrazione di tipo costruttivo.
Questo ti permette di innescare un algoritmo di risoluzione dal basso verso l'alto. Come? Purtroppo non riesco a scrivere bene in MathML il caso generale (e tanto mi pare di capire che lo studierai più avanti) quindi ti rispondo con un esempio:
${(ax+by+cz=0), (z=1):}$ è un sistema a gradini. Nella seconda equazione già leggi $z=1$. Sostituisci nella prima, e ottieni $ax+by=-c$, quindi $x=(-c-by)/a$ (almeno uno tra $a$ e $b$ deve essere $!=0$ sennò non sarebbe un sistema a gradini. Supponiamo $a!=0$). Questo si chiama risolvere il sistema, perché se chiamiamo $y=t$ e facciamo variare liberamente la $t$, le relazioni che hai trovato (${(x=(-c-bt)/(a)),(y=t),(z=1):}$) ti dicono tutte le possibili soluzioni.
Questa non è una spiegazione del concetto di "sistema a gradini" ma semplicemente un dare un'idea del perché un sistema a gradini sia (non sempre) risolubile: perché possiamo trovare un algoritmo che ci porta alla soluzione, oppure si inceppa perché la soluzione non c'è. E' una dimostrazione di tipo costruttivo.
"turtle87":
Mah, io non ho ancora affrontato, mai in vita mia, le matrici. Di conseguenza, se questa dimostrabilità presunta possa esistere solo grazie ad esse, o meglio, grazie alla formalizzazione di un sistema che esse attuano (mi riferisco a presunte proprietà delle matrici stesse in grado di risolvere determinati dubbi relativamente a un sistema), aspetterò il momento opportuno per non fare troppa confusione.
Grazie, dissonance!
le matrici sono collegate con un sistema di equazioni
ti faccio un esempio
il sistema $\{(2x + y = 1), (x - y =0):}$ altro non è che la matrice dei coefficienti per le incognite $\((x), (y))$
nel caso del sistema di sopra $\((1), (0))$ = $\((2, 1), (1, -1))$ $\((x), (y))$
No ma guarda che nel caso a gradini è molto più facile di quanto non sembri. Lasciando perdere le matrici, un sistema lineare si dice "a gradini" se, procedendo dall'altro in basso, ogni equazione ha qualche incognita in meno. (Un po' alla buona come definizione, ma funziona, come del resto anche quella che hai dato tu. Se vuoi una definizone più rigorosa è meglio aspettare di affrontare il concetto di matrice).
Questo ti permette di innescare un algoritmo di risoluzione dal basso verso l'alto. Come? Purtroppo non riesco a scrivere bene in MathML il caso generale (e tanto mi pare di capire che lo studierai più avanti) quindi ti rispondo con un esempio:
{ax+by+cz=0z=1 è un sistema a gradini. Nella seconda equazione già leggi z=1. Sostituisci nella prima, e ottieni ax+by=-c, quindi x=-c-bya (almeno uno tra a e b deve essere ≠0 sennò non sarebbe un sistema a gradini. Supponiamo a≠0). Questo si chiama risolvere il sistema, perché se chiamiamo y=t e facciamo variare liberamente la t, le relazioni che hai trovato ({x=-c-btay=tz=1) ti dicono tutte le possibili soluzioni.
Questa non è una spiegazione del concetto di "sistema a gradini" ma semplicemente un dare un'idea del perché un sistema a gradini sia (non sempre) risolubile: perché possiamo trovare un algoritmo che ci porta alla soluzione, oppure si inceppa perché la soluzione non c'è. E' una dimostrazione di tipo costruttivo.
Posto prima un dubbio che mi è rimasto sui sistemi a gradini, poi dopo verifico se ho le idee in via di schiarimento.
Dunque, abbiamo detto che un sistema a gradini è, secondo una definizione non troppo rigorosa, un sistema in cui in ogni equazione successiva alla prima scompare qualche incognita presente invece nella precedente.
Tu mi hai fatto un esempio di un sistema a gradini particolare, perchè c'è il valore di z già espresso dall'ultima equazione.
In ogni caso il procedimento costruttivo cui tu ti riferisci vale anche se nell'ultima equazione rimangono più di due incognite, diciamo n incognite, di cui n-1 di esse sono variabili libere? E' possibile quindi costruire la generica soluzione, e applicare il procedimento che tu hai applicato nell'esempio che mi hai fatto, anche in un siffatto sistema?
Adesso scrivo per vedere se le idee mi sono meno oscure.
Io ho affrontato lo studio dei sistemi a gradini non solo per analizzare questi sistemi in sè, ma anche perchè sono una forma cui vengono ricondotti tutti i sistemi completi (per il momento mediante l'algoritmo di Gauss-Jordan, cn il "metodo del pivot", senza quindi fare ricorso alle matrici), per verificare se esistano soluzioni per questi sistemi e per determinare, nel caso esso sia compatibile, quante esse siano (infinito alla meno n per qualunque n) e quali siano (notazione algebrica delle infinite ennuple di numeri reali risolventi il sistema).
Una volta ricondotto un sistema completo nella forma a gradini, è possibile vedere se esso è compatibile. In realtà sarebbe già possibile verificarlo prima, perchè nello sviluppo dell'algoritmo di Gauss-Jordan è possibile verificare, presentandosi determinate condizioni, se un sistema completo che si voglia ricondurre ad uno a gradini, sia compatibile.
In sostanza non è vero che un sistema "a gradini" sia sempre compatibile, e il fatto che un sistema completo venga ricondotto ad uno a gradini per rispondere alle due domande che ho posto sopra si attua soltanto perchè per un sistema a gradini è possibile vedere, mediante quell'algoritmo costruttivo che tu hai esposto nell'esempio, se sia compatibile o meno, e nel primo caso, trovare le soluzioni. Confermi quanto ho detto?
Esatto. è questo che volevo dire con la frase "possiamo trovare un algoritmo che ci porta alla soluzione, oppure si inceppa perché la soluzione non c'è". Tieni presente che di questi algoritmi per la riduzione di un sistema in forma a gradini ce n'è una marea, e a volte con lo stesso nome vengono indicati algoritmi diversi. Per caso l'algoritmo "di Gauss-Jordan" a cui ti riferisci tu è quello citato nel Sernesi volume 1? Se è così forse posso spiegarti meglio come funziona.
P.S.: Ah e mi sono scordato di aggiungere: anche la definizione stessa di sistema ridotto a gradini varia un po' a seconda degli autori. Ad esempio, secondo Sernesi che citavo prima, il sistema che ho portato ad esempio nel mio post precedente non è ridotto a gradini. Attenzione perché è facilissimo confondersi (come è successo a me)!
P.S.: Ah e mi sono scordato di aggiungere: anche la definizione stessa di sistema ridotto a gradini varia un po' a seconda degli autori. Ad esempio, secondo Sernesi che citavo prima, il sistema che ho portato ad esempio nel mio post precedente non è ridotto a gradini. Attenzione perché è facilissimo confondersi (come è successo a me)!
Prima di rispondere chiedo un'altra cosa (scusatemi, ma ne ho davvero bisogno):
qual è la notazione di un generico sistema a gradini?qualcuno la conosce? su internet non si trova
Per completezza, poi, conosci un sistema a gradini non compatibile? Me lo potresti postare come esempio?
qual è la notazione di un generico sistema a gradini?qualcuno la conosce? su internet non si trova
Per completezza, poi, conosci un sistema a gradini non compatibile? Me lo potresti postare come esempio?
Un sistema a gradini non compatibile si costruisce immediatamente: ${(x+y=0), (0y=1):}$. Però per continuare è necessario specificare bene la definizione di sistema a gradini che stai usando. Stai leggendo qualche libro in particolare?
No, in effetti no. Studio sugli appunti del mio professore, e come spesso accade vi sono alcune notazioni che non sono riuscito a capire dalla lavagna (tra cui la notazione di un generico sistema " a gradini"). Non è un problema irrisolvibile, ma mi piacerebbe chiarire subito i miei dubbi (la nascita di dubbi in me non è come l'ebbrezza che provano gli scienziati: mi mette un'ansia troppo forte, perchè sono sempre dell'idea che la matematica non sia adatta a me etc. etc.-luogo comune stupido, ma reale in me).
In ogni caso anche se studiassi da qualche libro penso che esso riporterebbe la definizione di "matrice a gradini" e non di "sistema a gradini". Quindi penso che per poter entrare nel merito, dovrei approfondire la questione.
Che intendi per "continuare"?
In ogni caso anche se studiassi da qualche libro penso che esso riporterebbe la definizione di "matrice a gradini" e non di "sistema a gradini". Quindi penso che per poter entrare nel merito, dovrei approfondire la questione.
Che intendi per "continuare"?
Allora, prima cosa: stai tranquillo, questo argomento è parecchio confusionario ed è molto facile perdersi.
Seconda cosa: dal fatto che parli di algoritmo di Gauss-Jordan anziché di algoritmo di Gauss, intuisco che il tuo professore usi gli stessi termini del Sernesi. Secondo questo autore, un sistema di equazioni lineari si dice ridotto a gradini se ha questa forma: ${(a_{11}X_1,+,a_{12}X_2 ,+ldots,,+a_{1n}X_n=b_1),(,a_{22}X_2,+,ldots,,+a_{2n}X_n=b_2), (,,ddots,,,vdots),(,,a_{mm}X_m,+,ldots,a_{mn}X_n=b_m):}$, dove $a_{11}, ldots, a_{mm}!=0$. Come vedi è qualcosa di diverso da quello di cui parlavamo prima: qui, andando dall'alto in basso, la prima incognita della k-esima equazione è esattamente $X_k$.
Invece prima avevamo detto che andando dall'alto in basso diminuiva il numero delle incognite, che è qualcosa di più generico. Quale delle due definizioni ha usato il tuo professore?
Seconda cosa: dal fatto che parli di algoritmo di Gauss-Jordan anziché di algoritmo di Gauss, intuisco che il tuo professore usi gli stessi termini del Sernesi. Secondo questo autore, un sistema di equazioni lineari si dice ridotto a gradini se ha questa forma: ${(a_{11}X_1,+,a_{12}X_2 ,+ldots,,+a_{1n}X_n=b_1),(,a_{22}X_2,+,ldots,,+a_{2n}X_n=b_2), (,,ddots,,,vdots),(,,a_{mm}X_m,+,ldots,a_{mn}X_n=b_m):}$, dove $a_{11}, ldots, a_{mm}!=0$. Come vedi è qualcosa di diverso da quello di cui parlavamo prima: qui, andando dall'alto in basso, la prima incognita della k-esima equazione è esattamente $X_k$.
Invece prima avevamo detto che andando dall'alto in basso diminuiva il numero delle incognite, che è qualcosa di più generico. Quale delle due definizioni ha usato il tuo professore?
Beh, alla fine il mio professore ha usato la definizione più generica. Ecco perchè mi trovo scritto sugli appunti (poco ragionati, per vari motivi che non sto qui a dirti...
) che un sistema a gradini è sempre compatibile. Alla fine, la definizione data dal mio professore era quella più generica, secondo cui semplicemente aumentava, di equazione in equazione successive alla prima, il numero di incognite ad indice più basso che non compariva. La tua è più precisa, ma perfettamente analoga alla sua: basta eguagliare a zero qualche coefficiente della prima incognita che compare in ogni equazione, e il gioco è fatto. Ovviamente non è formalmente corretta(la definizione che dò io tralascia quello che tu dici scrivendo a11,...,amm≠0 . Ma penso possa bastare, almeno per ora.
Questo, come dicevo all'inizio, spiegherebbe anche perchè un sistema compatibile definito come ha fatto il mio professore è sempre compatibile. Difatti, citando l'esempio di sistema a gradini non compatibile che mi hai dato prima, secondo la definizione del mio professore non sarebbe nemmeno un sistema a gradini.
Comunque approfondirò, per ora mi basta questo. Comunque ti farò sapere, magari. Intanto aspetto una tua risposta su quello che ho scritto. Per smentire fregnacce troppo grandi da me dette, magari:-)
) che un sistema a gradini è sempre compatibile. Alla fine, la definizione data dal mio professore era quella più generica, secondo cui semplicemente aumentava, di equazione in equazione successive alla prima, il numero di incognite ad indice più basso che non compariva. La tua è più precisa, ma perfettamente analoga alla sua: basta eguagliare a zero qualche coefficiente della prima incognita che compare in ogni equazione, e il gioco è fatto. Ovviamente non è formalmente corretta(la definizione che dò io tralascia quello che tu dici scrivendo a11,...,amm≠0 . Ma penso possa bastare, almeno per ora. Questo, come dicevo all'inizio, spiegherebbe anche perchè un sistema compatibile definito come ha fatto il mio professore è sempre compatibile. Difatti, citando l'esempio di sistema a gradini non compatibile che mi hai dato prima, secondo la definizione del mio professore non sarebbe nemmeno un sistema a gradini.
Comunque approfondirò, per ora mi basta questo. Comunque ti farò sapere, magari. Intanto aspetto una tua risposta su quello che ho scritto. Per smentire fregnacce troppo grandi da me dette, magari:-)
No aspetta. Ti sto mettendo confusione.
Nei miei post precedenti ho scritto due definizioni diverse di sistema a gradini. Attenzione: sono due definizioni diverse! Quello che io ho detto nel mio ultimo post, che include $a_{11}!=0, ...a_{mm}!=0$, non è "più preciso" di quello che ha detto il tuo professore, perché è un'altra cosa! Ho tirato in ballo questa definizione perché volevo capire i termini usati dal tuo professore e uniformarmi su quelli. Tu adesso puoi tranquillamente scordarti quello che ho scritto nel mio ultimo post.
Non mi convince. Non sarà mica che il tuo professore diceva: un sistema a gradini omogeneo è sempre compatibile?
Nei miei post precedenti ho scritto due definizioni diverse di sistema a gradini. Attenzione: sono due definizioni diverse! Quello che io ho detto nel mio ultimo post, che include $a_{11}!=0, ...a_{mm}!=0$, non è "più preciso" di quello che ha detto il tuo professore, perché è un'altra cosa! Ho tirato in ballo questa definizione perché volevo capire i termini usati dal tuo professore e uniformarmi su quelli. Tu adesso puoi tranquillamente scordarti quello che ho scritto nel mio ultimo post.
Questo, come dicevo all'inizio, spiegherebbe anche perchè un sistema compatibile definito come ha fatto il mio professore è sempre compatibile. Difatti, citando l'esempio di sistema a gradini non compatibile che mi hai dato prima, secondo la definizione del mio professore non sarebbe nemmeno un sistema a gradini.
Non mi convince. Non sarà mica che il tuo professore diceva: un sistema a gradini omogeneo è sempre compatibile?
Sinceramente ricordavo come ho detto finora, per cui verificherò.
Vedi se riesci a recuperare la definizione precisa di sistema a gradini che ti ha fornito il tuo professore. Così poi possiamo commentare questa proposizione.
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