Sistema omogeneo e lineare dipendenza
avrei quest'esercizio e alcuni dubbi sulla lineare dipendenza e indipendenza.
determinare una base dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo:
$\{(x3 -2x4 =0),(-x1+4x2-2x3+4x4=0),(-2X1+8X2-2X3+4X4=0),(-X1+4X2=0):}$ quindi m=4 n=4
ricavo la matrice dei coefficienti $((0,0,1,-2),(-1,4,-2,4),(-2,8,-2,4),(-1,4,0,0))$
il minore M2= $((0,1),(4,-2))$ ha determinante -4 e poichè orlando in tutti i modi ho det=0 il rango della matrice è 2.
quindi il sistema avrà $prop^2$ soluzioni e cioè al più 2 parametri linearmende Dipendenti....giusto?
considero il minore M2 e ricavo il sistema equivalente al dato:
$\{(x3=2x4),(4x2-2x3=x1-4x4):}$
la matrice dei coefficienti B= $((0,1),(4,-2))$ e la matrice completa B" = $((0,1,2x4),(4,-2,x1-4x4))$
x3= $((0,2x4),(4,x1-4x4))/-4$ = +2x4
x2= $((3x4,1),(x1-4x4,-2))/-4$ = $x1$/4$
le soluzioni del sistema sono quindi (x1,x1/4,2x4,x4) x1 e x4 sono i paramentri lienearmente dipendenti ?
x1(1,1/4,0,0) + x4(0,0,2,1) generatori di S, linearmente indipendenti e costituiscono una base
B = {(1,1/4,0,0),(0,0,2,1)}
è giusta la risoluzione e soprattutto la definizione nell'esercizio di lineare dipendenza ?
determinare una base dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo:
$\{(x3 -2x4 =0),(-x1+4x2-2x3+4x4=0),(-2X1+8X2-2X3+4X4=0),(-X1+4X2=0):}$ quindi m=4 n=4
ricavo la matrice dei coefficienti $((0,0,1,-2),(-1,4,-2,4),(-2,8,-2,4),(-1,4,0,0))$
il minore M2= $((0,1),(4,-2))$ ha determinante -4 e poichè orlando in tutti i modi ho det=0 il rango della matrice è 2.
quindi il sistema avrà $prop^2$ soluzioni e cioè al più 2 parametri linearmende Dipendenti....giusto?
considero il minore M2 e ricavo il sistema equivalente al dato:
$\{(x3=2x4),(4x2-2x3=x1-4x4):}$
la matrice dei coefficienti B= $((0,1),(4,-2))$ e la matrice completa B" = $((0,1,2x4),(4,-2,x1-4x4))$
x3= $((0,2x4),(4,x1-4x4))/-4$ = +2x4
x2= $((3x4,1),(x1-4x4,-2))/-4$ = $x1$/4$
le soluzioni del sistema sono quindi (x1,x1/4,2x4,x4) x1 e x4 sono i paramentri lienearmente dipendenti ?
x1(1,1/4,0,0) + x4(0,0,2,1) generatori di S, linearmente indipendenti e costituiscono una base
B = {(1,1/4,0,0),(0,0,2,1)}
è giusta la risoluzione e soprattutto la definizione nell'esercizio di lineare dipendenza ?
Risposte
Sostanzialemnte giusto quanto dici con qualche osservazione :
*per risolvere il sistema equivalente $2x2$ già sai che ha determinante diverso da $0 $, puoi risolvere per sostituzione semplicemente considerando che :
$x_3 =2x_4 $
$4x_2-2x_3=x_1-4x_4 $
da cui : $ 4x_2=x_1-4x_4+4x_4 $ e quindi $x_2=x_1/4$.
Le soluzioni sono : $x_1=x_1;x_2=x_1/4 ;x_3=2x_4 ;x_4=x_4 $ che messe in forma di vettore diventano
$s=(x_1,x_1/4,2x_4,x_4)$ [che include anche la soluzione banale $x_1=x_2=x_3=x_4 =0] $
Come doveva essere ci sono 2 parametri liberi e INDIPENDENTI TRA LORO $(x_1,x_4)$ e le soluzioni sono $oo^2$.
Una base delle soluzioni è $(1,1/4,0,0),(0,0,2,1)$ oppure se non ti piace vedere frazioni nella base puoi sostituire il primo vettore con questo $(4,1,0,0)$.
*per risolvere il sistema equivalente $2x2$ già sai che ha determinante diverso da $0 $, puoi risolvere per sostituzione semplicemente considerando che :
$x_3 =2x_4 $
$4x_2-2x_3=x_1-4x_4 $
da cui : $ 4x_2=x_1-4x_4+4x_4 $ e quindi $x_2=x_1/4$.
Le soluzioni sono : $x_1=x_1;x_2=x_1/4 ;x_3=2x_4 ;x_4=x_4 $ che messe in forma di vettore diventano
$s=(x_1,x_1/4,2x_4,x_4)$ [che include anche la soluzione banale $x_1=x_2=x_3=x_4 =0] $
Come doveva essere ci sono 2 parametri liberi e INDIPENDENTI TRA LORO $(x_1,x_4)$ e le soluzioni sono $oo^2$.
Una base delle soluzioni è $(1,1/4,0,0),(0,0,2,1)$ oppure se non ti piace vedere frazioni nella base puoi sostituire il primo vettore con questo $(4,1,0,0)$.
Capito..i vettori che generano la base sono linearmente indipendenti (come enunciato anche nella definizione di base). la prof però una volta trovate le ∞2 soluzioni ci ha detto che esistono al più due parametri linearmente dipendenti...è su questo che ho dubbi...è sbagliato ?
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