Sistema Lineare Parametrico

[Fratix]

Vorrei proporvi un'esercizio che personalmente non riesco a svolgere, perché non so proprio come procedere.
Il sistema è il seguente:

$ { ( y+(h+1)z=0),( x+y-z=h ),( hx+hy=-1 ):} $
con h reale.

L'esercizio chiede per quale valore di h il sistema proposto è equivalente al sistema formato dalle sole prime 2 equazioni.

[cooper1]

avevo pensato di ridurre con Guass la matrice e fare in modo che la terza riga si annullasse, ma facendo i conti mi esce che non si può. le possibilità non sono molte:
1. ho sbagliato a ragionare
2. hai sbagliato a scrivere il sistema
3. è giusto che non si possa
sinceramente non mi viene in mente altro ma non saprei, meglio che aspetti il suggerimento di qualche altro utente

[Fratix]

Ho provato a ragionare diversamente.
Affinché una delle 3 equazioni sia "superflua", bisognerebbe che essa sia combinazione lineare delle altre 2; ovvero il rango della matrice associata al sistema non sia 3 ma 2. Andiamo a considerare i determinanti dei minori di ordine 3 della matrice associata, ricordato che h è reale. Se $ h=0 $ allora il rango della matrice diviene automaticamente 2, basti considerare il minore:

$ det( ( 0 , 1 ),( 1 , 1 ) )\ne 0 $

A questo punto possiamo dire con sicurezza che il sistema proposto sia equivalente a questo ?
$ { ( y+z=0 ),( x+y-z=0 ):} $

[cooper1]

conta che se sostituissimo nella terza equazione $h=0$, avremmo un'affermazione falsa. $0x+0y=0!=-1$

[Fratix]

E' vero, non è possibile che la nostra matrice associata al sistema abbia rango 2 poiché esiste un minore di ordine 3 per il quale affinché il determinante si annulli, si ottiene:

$ h^2=-1 -> h=sqrt(-1) $

questo risulta impossibile poiché stiamo lavorando nei reali.