Sistema lineare omogeneo
Buongiorno, ho risolto un esercizio su un sistema lineare omogeneo ma ho alcuni dubbi, potete controllare almeno i passaggi e dirmi se ho fatto correttamente?
Il sistema è il seguente:
$ { ( 2x_1+2x_2-x_4=0 ),( 2x_1+4x_2=0),( hx_1+(1+h)x_3-hx_4=0 ),( 2x_1+(4-h)x_2+(3h-2)x_3-2x_4=0 ):} $
1) Discutere la dimensione di $S_h$ (l'insieme delle soluzioni di sigmah al variare di H)
Ecco, io ora ho preso la matrice dei coefficienti e ne ho studiato il RANGO. Calcolandone dapprima il determinante viene che esso è uguale a -10 $h^2$+10h. Per essere massimo il rango det deve essere diverso da 0 e quindi viene che h è diverso da 0 e da 1. Studiandone le rispettive matrici per h uguale a questi due valori ho trovato che il rango è 3 per entrambi. Quindi ho concluso che R(S)= 4 $ AA $ x appartenente ad R - {0,1} in cui vale appunto 3.
Da qui segue che le dimensioni di questo sistema sono 0 per ogni x appartenente ad R ed 1 per x=0 ed x=1. (Dim soluzioni= num incognite- rango matrice)
E' giusto??
Il sistema è il seguente:
$ { ( 2x_1+2x_2-x_4=0 ),( 2x_1+4x_2=0),( hx_1+(1+h)x_3-hx_4=0 ),( 2x_1+(4-h)x_2+(3h-2)x_3-2x_4=0 ):} $
1) Discutere la dimensione di $S_h$ (l'insieme delle soluzioni di sigmah al variare di H)
Ecco, io ora ho preso la matrice dei coefficienti e ne ho studiato il RANGO. Calcolandone dapprima il determinante viene che esso è uguale a -10 $h^2$+10h. Per essere massimo il rango det deve essere diverso da 0 e quindi viene che h è diverso da 0 e da 1. Studiandone le rispettive matrici per h uguale a questi due valori ho trovato che il rango è 3 per entrambi. Quindi ho concluso che R(S)= 4 $ AA $ x appartenente ad R - {0,1} in cui vale appunto 3.
Da qui segue che le dimensioni di questo sistema sono 0 per ogni x appartenente ad R ed 1 per x=0 ed x=1. (Dim soluzioni= num incognite- rango matrice)
E' giusto??
Risposte
Perche poi in un altro punto mi chiede di trovare una base $B_4$ (H=4 DEterminare le soluzioni) e poi completare $B_4$ ad una base di $R^4$... quindi non so ho un po di dubbi sulle dimensioni anche se sono in $R^4$ in questo secondo punto quindi la base dovrebbe essere "composta" da 4 vettori, no? Non dovrebbero incidere le dimensioni che ho ricavato prima...
guardandolo così un po' velocemente mi sembra corretto. per la seconda richiesta non capisco dove sia il dubbio.
per $h=4$ hai che la dimensione dello spazio delle soluzioni è 1 quindi una base del sottospazio di $RR^4$ formata dalle soluzioni del sistema lineare omogeneo è composta da un unico vettore. a questo punto ti chiede di completare questa base ad una base di $RR^4$ aggiungendo quindi altri 3 vettori tra loro l.i. e l.i. con il vettore della base (per esempio i vettori della base canonica)
per $h=4$ hai che la dimensione dello spazio delle soluzioni è 1 quindi una base del sottospazio di $RR^4$ formata dalle soluzioni del sistema lineare omogeneo è composta da un unico vettore. a questo punto ti chiede di completare questa base ad una base di $RR^4$ aggiungendo quindi altri 3 vettori tra loro l.i. e l.i. con il vettore della base (per esempio i vettori della base canonica)
"cooper":
guardandolo così un po' velocemente mi sembra corretto. per la seconda richiesta non capisco dove sia il dubbio.
per $h=4$ hai che la dimensione dello spazio delle soluzioni è 1 quindi una base del sottospazio di $RR^4$ formata dalle soluzioni del sistema lineare omogeneo è composta da un unico vettore. a questo punto ti chiede di completare questa base ad una base di $RR^4$ aggiungendo quindi altri 3 vettori tra loro l.i. e l.i. con il vettore della base (per esempio i vettori della base canonica)
Grazie tante! Il rango per la matrice ottenuta sostituendo h=4 va ricavato con il metodo dei minori? Cioè prendo un minore 3x3 se il det è diverso da 0 allora il rango della matrice è 3 e quindi dim 1 in questo caso, giusto? Se provassi a cercare il rango direttamente dalla matrice 4x4 con riduzione di Gauss, non dovrebbe venire lo stesso risultato? Su questo avevo un dubbio perchè utilizzando il primo metodo mi trovo, nel secondo caso viene che il rango è 4...
Poi il dubbio mi veniva anche perchè nel primo punto avevo trovato che la dimensione delle soluzioni era 1 solo per h=0 ed h=1Comunque le basi di $S_4$ sarei anche riuscito a ricavarle risolvendo il sistema per sostituzione ed assegnando un solo parametro (perchè la dimensione è appunto 1) ed ottengo che una base è (2t,t,0,2t) poi ho dato un valore alla t=1
Quindi un vettore è ${(2,1,0,2)}$ completando una base: ${(2,1,0,2),(1,0,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}$ a meno di errori di calcolo è corretto il modo di procedere?
"Amedim":
Grazie tante! Il rango per la matrice ottenuta sostituendo h=4 va ricavato con il metodo dei minori?
il rango l'hai già calcolato no? è 4 se $h != {0,-1}$ e 3 altrimenti. dato che 4 non è nell'"altrimenti" ha rango 1.
"Amedim":
Cioè prendo un minore 3x3 se il det è diverso da 0 allora il rango della matrice è 3, giusto? Se provassi a cercare il rango direttamente dalla matrice 4x4 con riduzione di Gauss, non dovrebbe venire lo stesso risultato? Su questo avevo un dubbio perchè utilizzando il primo metodo mi trovo, nel secondo caso viene che il rango è 4..
i due metodi sono equivalenti si. deve quindi risultare rango identico con i due metodi. probabilmente sbagli i conti oppure ragioni male. ma non ti serve ricalcolare il rango per $h=4$ perchè già lo conosci dalla prima parte.
"Amedim":
Comunque le basi di S4 sarei anche riuscito a ricavarle risolvendo il sistema per sostituzione ed assegnando un solo parametro (perchè la dimensione è appunto 1) ed ottengo che una base è (2t,t,0,2t) poi ho dato un valore alla t=1
Quindi un vettore è {(2,1,0,2)} completando una base: {(2,1,0,2),(1,0,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)} a meno di errori di calcolo è corretto il modo di procedere?
il procedimento è corretto ma a me esce che $x_1 = x_4 = -2t$. prova a ricontrollare/postare i conti (magari mi sono sbagliato).
"Amedim":
ho concluso che R(S)= 4 $ AA $ x appartenente ad R - {0,1} in cui vale appunto 3.
Da qui segue che le dimensioni di questo sistema sono 0 per ogni x appartenente ad R ed 1 per x=0 ed x=1. (Dim soluzioni= num incognite- rango matrice)
"cooper":
[quote="Amedim"]Grazie tante! Il rango per la matrice ottenuta sostituendo h=4 va ricavato con il metodo dei minori?
il rango l'hai già calcolato no? è 4 se $h != {0,-1}$ e 3 altrimenti. dato che 4 non è nell'"altrimenti" ha rango 1.
[/quote]
Forse mi ero incartato in quelle scritture. Il rango e' sicuramente massimo per h diverso da 0 e da 1 e a me veniva che era uguale a 3 solo per h=0 , 1 e per tutti gli altri valori di R era 4
aspetta che ho detto una sciocchezza! con $h=4$ dovrebbe avere rango 4. rifaccio un attimo i calcoli.
"cooper":
aspetta che ho detto una sciocchezza! con $h=4$ dovrebbe avere rango 4. rifaccio un attimo i calcoli.
Si guarda io ho riprovato sostituendo ad h=4 nella matrice e fare il rango con la gaussiana ma mi esce sempre rango 4. Ma se così fosse avrebbe dimensione 0? Troppo strano ahah
ok ci sono. mi sa che hai sbagliato a calcolare il determinante. a me viene $2h^2-6h-8$ che è massimo solo se $h != {-1,4}$. quindi se h assume uno di questi due valori non è massimo (non è 4). a questo punto però non sai ancora niente. il metodo corretto per studiare il rango è con i minori o con Gauss (scusa ma avevo capito avessi fatto così mentre rileggendo mi sa di no).
se continua a venirti 4 il rango sbagli sempre i calcoli. prova a postarli e scusa per la svista di prima (avrei dovuto farli subito i conti e leggere meglio)!
se continua a venirti 4 il rango sbagli sempre i calcoli. prova a postarli e scusa per la svista di prima (avrei dovuto farli subito i conti e leggere meglio)!
"cooper":
ok ci sono. mi sa che hai sbagliato a calcolare il determinante. a me viene $2h^2-6h-8$ che è massimo solo se $h != {-1,4}$. quindi se h assume uno di questi due valori non è massimo (non è 4). a questo punto però non sai ancora niente. il metodo corretto per studiare il rango è con i minori o con Gauss (scusa ma avevo capito avessi fatto così mentre rileggendo mi sa di no).
se continua a venirti 4 il rango sbagli sempre i calcoli. prova a postarli e scusa per la svista di prima (avrei dovuto farli subito i conti e leggere meglio)!
Per h=4 abbiamo la matrice:
$ ( ( 1 , 2 , 0 , -1 ),( 2 , 4 , 0 , 0 ),( 4 , 0 , 5 , -4 ),( 2 , 0 , 10 , -2 ) ) $
Provo a ridurre con Gauss:
$ (2,4,0,0)-2R1= (2,4,0,0)-(2,4,0,-2)=0,0,0,2 $
Inverto seconda/quarta colonna ed ho:
$ ( ( 1 , 2 , 0 , -1 ),( 2 , 0 , 10 , -2 ),( 4 , 0 , 5 , -4 ),( 0 , 0 , 0 , 2 ) ) $
quindi:
$ R2=(2,0,10,-2)-2R1=(2,0,10,-2)-(2,4,0,2) $
$ ( ( 1 , 2 , 0 , -1 ),( 0 , -4 , 10 , 0 ),( 4 , 0 , 5 , -4 ),( 0 , 0 , 0 , 2 ) ) $
$ R3=(4,0,5,-4)-4R1= (4,0,5,-4)-(4,8,0,-4)=(0,8,5,0) $
$ ( ( 1 , 2 , 0 , -1 ),( 0 , -4 , 10 , 0 ),( 0 , 8 , 5 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 2 ) ) $
$ R3=(0,8,5,0)-(-2)R2=(0,8,5,0)-(0,8,-20,0)=(0,0,25,0) $
Alla fine ottengo:
$ ( ( 1 , 2 , 0 , -1 ),( 0 , -4 , 10 , 0 ),( 0 , 0 , 25 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 2 ) ) $
Giusto per farti vedere i calcoli che ho fatto con gauss
adesso provo a rivedermi il determinante allora
ma il primo elemento della matrice non è 2? perchè hai messo 1?
"Amedim":
Il sistema è il seguente:
$ { ( x_1+2x_2-x_4=0 ),( 2x_1+4x_2=0),( hx_1+(1+h)x_3-hx_4=0 ),( 2x_1+(4-h)x_2+(3h-2)x_3-2x_4=0 ):} $
Oddio scusami, sbagliato a trascrivere qui nella traccia: era $x_1$ nella prima equazione non $2x_1$. Non me ne ero proprio accorto
allora.. il calcolo del rango così come l'hai fatto comunque è impreciso. devi usare il metodo dei minori o Gauss. ad ogni modo il determinante è corretto come l'hai calcolato, quindi per $h=4$ effettivamente si ha rango max. l'unica soluzione che ammette il sistema è quindi quella nulla. a questo punto non ha nemmeno senso cercare una base perchè la dimensione dello spazio delle soluzioni è zero. 
prova magari a postare il testo dell'esercizio in versione integrale.
prova magari a postare il testo dell'esercizio in versione integrale.
"cooper":
allora.. il calcolo del rango così come l'hai fatto comunque è impreciso. devi usare il metodo dei minori o Gauss. ad ogni modo il determinante è corretto come l'hai calcolato, quindi per $ h=4 $ effettivamente si ha rango max. l'unica soluzione che ammette il sistema è quindi quella nulla. a questo punto non ha nemmeno senso cercare una base perchè la dimensione dello spazio delle soluzioni è zero.
prova magari a postare il testo dell'esercizio in versione integrale.
Considerato il sistema:
$ { ( x_1+2x_2-x_4=0 ),( 2x_1+4x_2=0),( hx_1+(1+h)x_3-hx_4=0 ),( 2x_1+(4-h)x_2+(3h-2)x_3-2x_4=0 ):} $
Discutere la dimensione di $S_h$= Sol ($sumh$) (l'insieme delle soluzioni di $sumh$) al variare di H. Determinare $S_4$ (dunque nel caso h=4) ed una sua base $B_4$. Completare $B_4$ ad una base di $R^4$
Ecco, ci troviamo uguale allora. Il fatto è che Non dice nemmeno "se possibile" o qualcosa del genere dalla traccia, mah strano ahahhn
dato allora questo testo, che a meno di nostri errori di conto, non comprendo la soluzione dovrebbe essere quella che ti ho detto prima:
studi il rango con Gauss/minori per la dimensione;
l'unica soluzione di $S_4$ è $(0,0,0,0)$ e la base non ha senso cercarla
completare ad una base di $RR^4$ non saprei esattamente come muovermi. potrebbe essere a questo punto prendere una base di $RR^4$ qualsiasi, oppure potrebbe essere che non sia possibile completarla perchè la base non esiste.
se sei sicuro che quello sia il testo e se sei anche sicuro di aver scritto correttamente il sistema prova a contattare il prof oppure se puoi quello che ha concepito l'esercizio.
studi il rango con Gauss/minori per la dimensione;
l'unica soluzione di $S_4$ è $(0,0,0,0)$ e la base non ha senso cercarla
completare ad una base di $RR^4$ non saprei esattamente come muovermi. potrebbe essere a questo punto prendere una base di $RR^4$ qualsiasi, oppure potrebbe essere che non sia possibile completarla perchè la base non esiste.
se sei sicuro che quello sia il testo e se sei anche sicuro di aver scritto correttamente il sistema prova a contattare il prof oppure se puoi quello che ha concepito l'esercizio.
"cooper":
dato allora questo testo, che a meno di nostri errori di conto, non comprendo la soluzione dovrebbe essere quella che ti ho detto prima:
studi il rango con Gauss/minori per la dimensione;
l'unica soluzione di $S_4$ è $(0,0,0,0)$ e la base non ha senso cercarla
completare ad una base di $RR^4$ non saprei esattamente come muovermi. potrebbe essere a questo punto prendere una base di $RR^4$ qualsiasi, oppure potrebbe essere che non sia possibile completarla perchè la base non esiste.
se sei sicuro che quello sia il testo e se sei anche sicuro di aver scritto correttamente il sistema prova a contattare il prof oppure se puoi quello che ha concepito l'esercizio.
Grazie 1000, cooper! A questo punto l'unica cosa che mi viene in mente è che abbia sbagliato la prof a trascrivere qualcosa magari nella traccia sul suo sito... Chiedero'.
Ciao e grazie ancora!
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