Sistema lineare al variare di una variabile h
Salve a tutti, ho davanti questo esercizio, e mi servirebbe sapere (non avendo soluzioni da nessuna parte, se sto procedendo nel modo giusto:
il sistema da discutere è il seguente
$\{(x + 2y + z = 1),(x + hy + z = 1),(hx -y -z = 0):}$
Comincio calcolando il determinante della matrice dei termini noti, che chiamo A:
| A | = $|(1,2,1),(1,h,1),(h,-1,-1)|$
e trovo che il determinante della matrice è diverso da 0 per $h!=1$ e $h!=2$
---
Qui sorge la domanda numero 1:
1) C'è una qualche condizione per la quale, dopo aver calcolato il determinante, non posso più andare avanti nell'esercizio?
---
Passo a Cramer per il calcolo delle soluzioni per h=1 che mi vengono
per la x --> $1/((h-1)(2-h))$
per la y --> 0 (perché le prime due righe sono linearmente dipendenti..)
per la z --> $1/((h-1)(2-h))$ (ho due soluzioni uguali.. mi dovrebbe indicare qualcosa?)
Dopo di ciò, passo a calcolare le soluzioni di Cramer per h=2
per la x --> 0
per la y --> 0
per la z --> 0
Sono giuste le soluzioni? Spero di non aver scritto troppe stupidaggini in un post solo
il sistema da discutere è il seguente
$\{(x + 2y + z = 1),(x + hy + z = 1),(hx -y -z = 0):}$
Comincio calcolando il determinante della matrice dei termini noti, che chiamo A:
| A | = $|(1,2,1),(1,h,1),(h,-1,-1)|$
e trovo che il determinante della matrice è diverso da 0 per $h!=1$ e $h!=2$
---
Qui sorge la domanda numero 1:
1) C'è una qualche condizione per la quale, dopo aver calcolato il determinante, non posso più andare avanti nell'esercizio?
---
Passo a Cramer per il calcolo delle soluzioni per h=1 che mi vengono
per la x --> $1/((h-1)(2-h))$
per la y --> 0 (perché le prime due righe sono linearmente dipendenti..)
per la z --> $1/((h-1)(2-h))$ (ho due soluzioni uguali.. mi dovrebbe indicare qualcosa?)
Dopo di ciò, passo a calcolare le soluzioni di Cramer per h=2
per la x --> 0
per la y --> 0
per la z --> 0
Sono giuste le soluzioni? Spero di non aver scritto troppe stupidaggini in un post solo
Risposte
La matrice che hai evidenziato si chiama matrice incompleta o matrice dei coefficienti. Quando il suo determinante è nullo, bisogna calcolarne il rango e confrontarlo con il rango della matrice completa, quella che si ottiene dall'incompleta aggiungendo la colonna dei termini noti. Quindi si ricorre al teorema di Rouché-Capelli.
"speculor":
La matrice che hai evidenziato si chiama matrice incompleta o matrice dei coefficienti.
Ops, hai ragione, ho sbagliato a scrivere, ho pensato una cosa e ne ho scritta un'altra
Allora, il teorema di Rouche-Capelli mi dice che un sistema è compatibile (quindi ammette almeno una soluzione) se data A matrice incompleta dei soli coefficienti, e B matrice dei soli termini noti
|AX|= |AB| (i due ranghi sono uguali)
se per caso fossero diversi, il sistema non ammette soluzioni, quindi l'esercizio si fermerebbe già all'inizio no?
nel mio caso i ranghi sono tutti e due uguali a 3 no?
Quando il determinante della matrice incompleta è diverso da zero, allora il suo rango assume valore massimo uguale all'ordine della matrice. La matrice completa non può avere rango maggiore e quindi il sistema è compatibile e ammette una sola soluzione. Ma quando la matrice incompleta ha determinante nullo, si può solo dire che non può avere rango massimo. Dovresti sostituire, prima uno poi l'altro, i valori del parametro per cui il determinante è nullo, quindi determinare il rango delle due matrici. Se sono uguali allora il sistema è compatibile, e bisognerebbe anche calcolare le infinite soluzioni, se sono diversi il sistema è impossibile.
per h=1 il rango della matrice incompleta e completa vengono tutti e due 3
e anche per h=2 vengono tutti e due 3... Ho fatto giusto oppure ho sbagliato?
^_^
e anche per h=2 vengono tutti e due 3... Ho fatto giusto oppure ho sbagliato?
^_^
Hai commesso un errore nei calcoli: il determinante è nullo per $h = -1$ oppure per $h = +2$. In ogni modo, quando poi vai a sostituire uno di questi due valori, il rango della matrice incompleta non può assolutamente essere tre!
No, infatti.. perché ci sono due colonne linearmente dipendenti,
quindi per h=-1 il rango dovrebbe essere 2 per la matrice incompleta e 3 per la completa.
giusto?
quindi per h=-1 il rango dovrebbe essere 2 per la matrice incompleta e 3 per la completa.
giusto?
Ok. Come li hai calcolati?
allora, nella matrice incompleta ho visto che c'erano due colonne linearmente dipendenti, e quindi det della matrice è uguale a zero. Quella incompleta ha rango 3 perché togliendo la stessa colonna linearmente dipendente, il determinante della matrice 3x3 che rimane è di rango 3, se non ho commesso errori
per h=2 le due matrici hanno lo stesso rango (uguale a 2)..
adesso mi devo trovare le soluzioni?
per h=2 le due matrici hanno lo stesso rango (uguale a 2)..
adesso mi devo trovare le soluzioni?
Devi avere fatto confusione, parli sempre dell'incompleta!
Allora:
matrice dei coefficienti
$((1,2,1),(1,h,1),(h,-1,-1))$
matrice dei termini noti
$(1),(1),(0)$
per h=-1
matrice completa $((1,2,1,1),(1,-1,1,1),(-1,-1,-1,0))$
ci sono due colonne uguali quindi rango matrice completa è 3
quella incompleta ha rango 2 perchè due colonne sono uguali
quindi il sistema non è compatibile
per h=2 non la riscrivo ma il rango è 2 per tutte e due, giusto?
matrice dei coefficienti
$((1,2,1),(1,h,1),(h,-1,-1))$
matrice dei termini noti
$(1),(1),(0)$
per h=-1
matrice completa $((1,2,1,1),(1,-1,1,1),(-1,-1,-1,0))$
ci sono due colonne uguali quindi rango matrice completa è 3
quella incompleta ha rango 2 perchè due colonne sono uguali
quindi il sistema non è compatibile
per h=2 non la riscrivo ma il rango è 2 per tutte e due, giusto?
Avrei bisogno di ulteriore aiuto, riassumendo:
in questo esercizio ho calcolato il determinante della matrice incompleta e mi risulta che il determinante sia (h+1)(2-h) e fin qui ci sono
ho calcolato il rango della matrice incompleta per h=-1 e viene 2 mentre il rango della matrice completa è di 3, ne deduco che per h=-1 non posso usare Cramer. (Domanda: Ragionamento giusto?)
ho calcolato il rango della matrice incompleta per h=2 e viene 2 e il rango della matrice completa viene pure 2 quindi ne deduco che posso usare Cramer per poter trovare le 3 soluzioni.
Non avendo risultati mi viene difficile capire se ho intrapreso la strada giusta..
in questo esercizio ho calcolato il determinante della matrice incompleta e mi risulta che il determinante sia (h+1)(2-h) e fin qui ci sono
ho calcolato il rango della matrice incompleta per h=-1 e viene 2 mentre il rango della matrice completa è di 3, ne deduco che per h=-1 non posso usare Cramer. (Domanda: Ragionamento giusto?)
ho calcolato il rango della matrice incompleta per h=2 e viene 2 e il rango della matrice completa viene pure 2 quindi ne deduco che posso usare Cramer per poter trovare le 3 soluzioni.
Non avendo risultati mi viene difficile capire se ho intrapreso la strada giusta..
Non sono sicuro tu sappia calcolare bene il rango. Quando dici che l'incompleta, avendo due colonne uguali, ha rango 2, immagino che tu lo dica perchè comunque hai fatto anche altri conti.
Speculor, grazie mille per la pazienza innanzitutto ^^
Allora poniamo che h sia uguale a 2, la matrice incompleta viene:
$((1,2,1),(1,2,1),(1,2,1))$
le prime due righe sono linearmente dipendenti, quindi il determinante della matrice 3x3 mi verrebbe 0, quindi verifico che il rango della incompleta è due. Poi passo al rango della matrice completa (aggiungendo la colonna dei termini noti):
$((1,2,1,1),(1,2,1,1),(1,2,1,0))$
di nuovo le prime due righe sono linearmente dipendenti (perché uguali) e il rango non può essere 3, verificando il rango mi viene anch'esso 2.
Ho fatto bene?
Allora poniamo che h sia uguale a 2, la matrice incompleta viene:
$((1,2,1),(1,2,1),(1,2,1))$
le prime due righe sono linearmente dipendenti, quindi il determinante della matrice 3x3 mi verrebbe 0, quindi verifico che il rango della incompleta è due. Poi passo al rango della matrice completa (aggiungendo la colonna dei termini noti):
$((1,2,1,1),(1,2,1,1),(1,2,1,0))$
di nuovo le prime due righe sono linearmente dipendenti (perché uguali) e il rango non può essere 3, verificando il rango mi viene anch'esso 2.
Ho fatto bene?
Il mio dubbio era fondato. Il fatto che le prime 2 righe siano linearmente dipendenti, non vuole dire per forza che il rango è 2. Anzi, quella matrice ha rango 1. Sono tre righe uguali! Il rango si calcola trovando un minore di ordine massimo con determinante diverso da zero.
No aspetta ho fatto un errore di trascrizione perché ho un casino di fogli davanti perdonami..
matrice incompleta
$((1,2,1),(1,2,1),(2,-1,-1))$
matrice incompleta
$((1,2,1,1),(1,2,1,1),(2,-1,-1,0))$
comunque sapevo che, se due righe o colonne sono linearmente dipendenti, il determinante viene zero, quindi passa a verificare il rango per matrici di ordine minore, quindi se la mia matrice è 3x3 passo a calcolare quelle 2x2..
Scusa ancora per l'errore
matrice incompleta
$((1,2,1),(1,2,1),(2,-1,-1))$
matrice incompleta
$((1,2,1,1),(1,2,1,1),(2,-1,-1,0))$
comunque sapevo che, se due righe o colonne sono linearmente dipendenti, il determinante viene zero, quindi passa a verificare il rango per matrici di ordine minore, quindi se la mia matrice è 3x3 passo a calcolare quelle 2x2..
Scusa ancora per l'errore
Quindi non basta dire che due righe sono uguali per avere rango 2. Devi trovare un minore di ordine 2 con determinante diverso da zero.
Mi premeva capire che tu fossi al corrente di questo. Puoi confermare?
Mi premeva capire che tu fossi al corrente di questo. Puoi confermare?
Si Si! Non te lo avrei detto nei termini in cui me lo hai detto tu, però si.
Ovviamente se non trovo un minore di ordine 2 con il determinante diverso da zero, il rango è 1.
Detto questo ho calcolato le soluzioni del sistema (con h diverso da -1 e diverso da 2) con Cramer e mi viene la terna di soluzioni:
$1/(h+1)$, $0$, $h/(h+1)$
Ovviamente se non trovo un minore di ordine 2 con il determinante diverso da zero, il rango è 1.
Detto questo ho calcolato le soluzioni del sistema (con h diverso da -1 e diverso da 2) con Cramer e mi viene la terna di soluzioni:
$1/(h+1)$, $0$, $h/(h+1)$
Per $h = 2$ hanno entrambe rango 2, quindi il sistema ammette $\infty^(3-2)$ soluzioni. Per determinarle, porta a secondo membro la colonna esclusa dal minore dell'incompleta con cui hai calcolato rango 2 e risolvi applicando Cramer, con l'incognita portata a secondo membro come parametro.
quindi, se ho capito bene, dovrei calcolare Cramer sul sistema:
$\{(x+2y=-z),(2x-y=z):}$
?
$\{(x+2y=-z),(2x-y=z):}$
?
E la colonna dei termini noti?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo