SISTEMA LINEARE AL VARIARE DI UN PARAMETRO
Buongiorno a tutti 
Mi sono imbattuto nel seguente esercizio, qualcosa ho fatto ma mi sono ingarbugliato col parametro...
Spero qualcuno mi possa aiutare.
L'esercizio è il seguente:
Discutere al variare del parametro reale t, l'esistenza e l'unicità delle soluzioni del sistema lineare:
$ ( ( 1 , 1 , t ),( 1 , 1 , t^3 ),( 2 , 2 , 1+t ),( 1 , 0 , 1 ) ) $ $ ( ( x ),( y ),( z ) ) $ = $ ( ( 1 ),( 3 ),( 1 ),( 0 ) ) $
Io ho iniziato la discussione nel seguente modo: il sistema lineare è risolubile se e solo se : detto $ vec(b) $ =$ ( ( 1 ),( 3 ),( 1 ),( 0 ) ) $ vettore dei termini noti è combinazione delle colonne di A, dove A è la matrice associata al sistema.
Quindi se e solo se rango(A)=rango( $ tilde(A) $ ) , Dove $ tilde(A) $ è la matrice A più il vettore colonna $ vec(b) $.
Lavorando alla Gauss sulla matrice A si ottiene $ rarr ( ( 1 , 1 , t ),( 0 , -1 , 1-t ),( 0 , 0 , t^3-t ),( 0 , 0 , 1-t ) ) $
e si ha: $ AA t $ diverso da 1 rango(A)=3 e per t=1 rango(A)=2
poi lavorando alla Gauss su $ tilde(A) $ ho ottenuto $ rarr $ $ ( ( 1 , 1 , t , 1 ),( 0 , 1, 0 , 0 ),( 0 , 0 , t^3-t , 2 ),( 0 , 0 , 1-t , -1 ) ) $ che ha rango 3 $ AA t $ reale.
Allora il sistema è risolubile per t diverso da 1.
Ora , posto t diverso da 1, dovrei discutere l'unicità delle soluzioni.
Io so che: sia S lo spazio affine delle soluzioni del sistema, e sia S' lo spazio vettoriale delle soluzioni del sistema omogeneo associato a quello dato allora: S={ $ vec(x') $ appartenente a S'/ $ vec(x') +vec(x) $ } dove $ vec(x) $ è una soluzione particolare del sistema.
Pensavo di trovare una base per S' e una soluzione particolare $ vec(x) $, dipendenti da parametro t e discutere le soluzioni al variare di t... ma non riesco..
Un grazie in anticipo a chi mi da una mano
Mi sono imbattuto nel seguente esercizio, qualcosa ho fatto ma mi sono ingarbugliato col parametro...
Spero qualcuno mi possa aiutare.
L'esercizio è il seguente:
Discutere al variare del parametro reale t, l'esistenza e l'unicità delle soluzioni del sistema lineare:
$ ( ( 1 , 1 , t ),( 1 , 1 , t^3 ),( 2 , 2 , 1+t ),( 1 , 0 , 1 ) ) $ $ ( ( x ),( y ),( z ) ) $ = $ ( ( 1 ),( 3 ),( 1 ),( 0 ) ) $
Io ho iniziato la discussione nel seguente modo: il sistema lineare è risolubile se e solo se : detto $ vec(b) $ =$ ( ( 1 ),( 3 ),( 1 ),( 0 ) ) $ vettore dei termini noti è combinazione delle colonne di A, dove A è la matrice associata al sistema.
Quindi se e solo se rango(A)=rango( $ tilde(A) $ ) , Dove $ tilde(A) $ è la matrice A più il vettore colonna $ vec(b) $.
Lavorando alla Gauss sulla matrice A si ottiene $ rarr ( ( 1 , 1 , t ),( 0 , -1 , 1-t ),( 0 , 0 , t^3-t ),( 0 , 0 , 1-t ) ) $
e si ha: $ AA t $ diverso da 1 rango(A)=3 e per t=1 rango(A)=2
poi lavorando alla Gauss su $ tilde(A) $ ho ottenuto $ rarr $ $ ( ( 1 , 1 , t , 1 ),( 0 , 1, 0 , 0 ),( 0 , 0 , t^3-t , 2 ),( 0 , 0 , 1-t , -1 ) ) $ che ha rango 3 $ AA t $ reale.
Allora il sistema è risolubile per t diverso da 1.
Ora , posto t diverso da 1, dovrei discutere l'unicità delle soluzioni.
Io so che: sia S lo spazio affine delle soluzioni del sistema, e sia S' lo spazio vettoriale delle soluzioni del sistema omogeneo associato a quello dato allora: S={ $ vec(x') $ appartenente a S'/ $ vec(x') +vec(x) $ } dove $ vec(x) $ è una soluzione particolare del sistema.
Pensavo di trovare una base per S' e una soluzione particolare $ vec(x) $, dipendenti da parametro t e discutere le soluzioni al variare di t... ma non riesco..
Un grazie in anticipo a chi mi da una mano
Risposte
Il rango di A è 3 per $t!=1$
Il rango di $ tilde(A) $ è:
$rk(tilde(A))= 4$ se $t!=1 ^^ t!=2$
$rk(tilde(A))=3$ se $t=1 vv t=2$
Quindi l'unico caso in cui esiste una soluzione è quando $rank(A)=rank(tilde(A))$ ovvero $t=2$
L'unicità è data automaticamente in quanto $ vec(b) $ è combinazione lineare di vettori indipendenti quindi si ha unicità della soluzione
Il rango di $ tilde(A) $ è:
$rk(tilde(A))= 4$ se $t!=1 ^^ t!=2$
$rk(tilde(A))=3$ se $t=1 vv t=2$
Quindi l'unico caso in cui esiste una soluzione è quando $rank(A)=rank(tilde(A))$ ovvero $t=2$
L'unicità è data automaticamente in quanto $ vec(b) $ è combinazione lineare di vettori indipendenti quindi si ha unicità della soluzione
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