Sistema lineare

[marixg]

ho un esercizio che non riesco a fare perchè quando scrivo il determinante di A ottengo una radice

studiare il sistema al variare di k e b

$\{(x+2y+kz=1),(2x+ky+8z=-1),(4x+7y+z=b):}$

[minomic]

Ciao, non capisco da dove esca la radice...
La matrice incompleta associata al sistema è $$
\begin{pmatrix}
1&2&k\\2&k&8\\4&7&1
\end{pmatrix}
$$ il cui determinante è $$-4k^2+15k+4.$$ Era questo che non ti risultava?

[marixg]

il determinante è quello che viene a me!
il fatto è che trovo i valori di k di tale equazione e non viene strano, con la radice

[minomic]

Quando poni il determinante uguale a zero trovi$$
4k^2-15k-4 = 0 \rightarrow k_{1, 2} = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 64}}{8} = \frac{15 \pm 17}{8} = -\frac{1}{4} \vee 4.
$$

[marixg]

e per stud il rango della matrice AB al variare di b?

[minomic]

Scrivo la matrice completa: $$
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&2&k&1\\2&k&8&-1\\4&7&1&b
\end{array}\right)
$$ Facciamo uno schema. Da quanto fatto prima sappiamo che il determinante di $A$ si annulla per $k = -\frac{1}{4}, 4$ quindi

[*:324p4zm1]per $k \ne -\frac{1}{4}, 4$ il rango di $A$ è pari a $3$ e quindi anche il rango di $A|b$ è $3$[/*:m:324p4zm1]
[*:324p4zm1]per $k = -\frac{1}{4}$: sostituisci, trovi la nuova matrice $A$ che avrà rango $< 3$ e imponi che $A|b$ abbia la stesso rango affinchè il sistema sia risolvibile[/*:m:324p4zm1]
[*:324p4zm1]ripeti per $k=4$[/*:m:324p4zm1][/list:u:324p4zm1]

PS. In questo post ho indicato con $b$ il vettore-colonna dei termini noti e non il parametro.