Sistema fondamentale di intorni numerabile di un quoziente
Ciao ragazzi,
il mio professore di topologia ha detto una cosa che non mi è chiara, potreste aiutarmi?
Prendiamo $R^2$ e quozientiamo secondo questa relazione di equivalenza: tutti i punti che non stanno sull'asse x sono in classi diverse, mentre tutti i punti dell'asse x formano una sola classe. Vogliamo studiare se esista o meno un sistema fondamentale di intorni numerabile di un rappresentante della classe dell'asse x nella topologia quoziente (che è la topologia più fine per la quale la proiezione canonica sia continua), per esempio per il punto $(0,0)$. Lui ha detto di no, e che il motivo va ricercato nella continuità di R, ma non riesco a capire come.
Vi dico i miei ragionamenti: gli intorni dell'origine nel quoziente sono tutte le "strisce" che contengono quello che prima era l'asse x, secondo la topologia quoziente, no? Dunque, per ogni striscia che trovo, non posso far lo stesso ragionamento che faccio con le palle di $R^2$ con la topologia euclidea e prendere sempre una retta che sta a distanza $1/k$, con $k$ in $N$, tale che $1/k$ sia minore della distanza tra la striscia e l'asse x?
Ho pensato che magari il problema sia che non ho solo le strisce dritte diciamo, ma anche tutte le strisce ondulate, perché potrei prendere in $R^2$ palle tutte diverse di punti dell'asse x, in questo modo ho un insieme non numerabile di palle e quindi magari non posso trovare il minimo...
Scusate se mi spiego come le bestie, è un argomento nuovo e sto cercando di districarmici meglio che posso!
Grazie, buona giornata e buon week end!
il mio professore di topologia ha detto una cosa che non mi è chiara, potreste aiutarmi?
Prendiamo $R^2$ e quozientiamo secondo questa relazione di equivalenza: tutti i punti che non stanno sull'asse x sono in classi diverse, mentre tutti i punti dell'asse x formano una sola classe. Vogliamo studiare se esista o meno un sistema fondamentale di intorni numerabile di un rappresentante della classe dell'asse x nella topologia quoziente (che è la topologia più fine per la quale la proiezione canonica sia continua), per esempio per il punto $(0,0)$. Lui ha detto di no, e che il motivo va ricercato nella continuità di R, ma non riesco a capire come.
Vi dico i miei ragionamenti: gli intorni dell'origine nel quoziente sono tutte le "strisce" che contengono quello che prima era l'asse x, secondo la topologia quoziente, no? Dunque, per ogni striscia che trovo, non posso far lo stesso ragionamento che faccio con le palle di $R^2$ con la topologia euclidea e prendere sempre una retta che sta a distanza $1/k$, con $k$ in $N$, tale che $1/k$ sia minore della distanza tra la striscia e l'asse x?
Ho pensato che magari il problema sia che non ho solo le strisce dritte diciamo, ma anche tutte le strisce ondulate, perché potrei prendere in $R^2$ palle tutte diverse di punti dell'asse x, in questo modo ho un insieme non numerabile di palle e quindi magari non posso trovare il minimo...
Scusate se mi spiego come le bestie, è un argomento nuovo e sto cercando di districarmici meglio che posso!
Grazie, buona giornata e buon week end!
Risposte
Se ho capito bene: su \(\displaystyle\mathbb{R}^2\) consideri la seguente relazione:
\[
(x_1;y_1)\sim(x_2;y_2)\stackrel{def.}{\iff}\begin{cases}
x_1=x_2\,\text{e}\,y_1=y_2\\
\text{oppure}\\
y_1=y_2=0
\end{cases}
\]
che si dimostra essere di equivalenza!
Indicato con \(\displaystyle(X;\mathcal{T})\) lo spazio quoziente di \(\displaystyle(\mathbb{R}^2;\mathcal{T}_{nat})\) rispetto a \(\displaystyle\sim\): il prof. afferma che \(\displaystyle[(0;0)]_{\sim}\) non ha un sistema fondamentale di intorni (s.f.i.) numerabile!
Ad esempio: puoi considerare la parte di piano delimitate dalle curve \(\displaystyle{\pm e^{\frac{-1}{x^2}}}\)... Ti ho dato un indizio!
\[
(x_1;y_1)\sim(x_2;y_2)\stackrel{def.}{\iff}\begin{cases}
x_1=x_2\,\text{e}\,y_1=y_2\\
\text{oppure}\\
y_1=y_2=0
\end{cases}
\]
che si dimostra essere di equivalenza!
Indicato con \(\displaystyle(X;\mathcal{T})\) lo spazio quoziente di \(\displaystyle(\mathbb{R}^2;\mathcal{T}_{nat})\) rispetto a \(\displaystyle\sim\): il prof. afferma che \(\displaystyle[(0;0)]_{\sim}\) non ha un sistema fondamentale di intorni (s.f.i.) numerabile!
"borador":Perché? O meglio, sì questi sono anti-immagini degli intorni di \(\displaystyle[(0;0)]_{\sim}\): ma sono tutti? No!
...gli intorni dell'origine nel quoziente sono tutte le "strisce" che contengono quello che prima era l'asse x, secondo la topologia quoziente, no?...
"borador":Esatto, bene!
...il problema sia che non ho solo le strisce dritte diciamo, ma anche tutte le strisce ondulate...
Ad esempio: puoi considerare la parte di piano delimitate dalle curve \(\displaystyle{\pm e^{\frac{-1}{x^2}}}\)... Ti ho dato un indizio!
Hai capito benissimo!
Uhm, quindi se ho capito bene mi stai dicendo che per qualunque retta che disti $1/k$, con $k$ naturale, posso trovare un valore in cui la funzione $e^(-1/x^2)$ è minore della retta stessa?
Se così fosse, non capisco però come mai questo non si possa fare per le palle in $R^2$ con la topologia euclidea. Cioè non capisco dove sto usando la cardinalità del continuo di $R$.
Grazie tante per la riposta!
Uhm, quindi se ho capito bene mi stai dicendo che per qualunque retta che disti $1/k$, con $k$ naturale, posso trovare un valore in cui la funzione $e^(-1/x^2)$ è minore della retta stessa?
Se così fosse, non capisco però come mai questo non si possa fare per le palle in $R^2$ con la topologia euclidea. Cioè non capisco dove sto usando la cardinalità del continuo di $R$.
Grazie tante per la riposta!
Ma perché quella parte di piano è un intorno di \(\displaystyle(0;0)\)?
Se consideri il sfi di \(\displaystyle(0;0)\) composto dalle palle di raggio \(\displaystyle\frac{1}{n}\), ne fai l'immagine e la controimmagine mediante \(\displaystyle\pi\) che succede? Come utilizzare questa informazione?
Se consideri il sfi di \(\displaystyle(0;0)\) composto dalle palle di raggio \(\displaystyle\frac{1}{n}\), ne fai l'immagine e la controimmagine mediante \(\displaystyle\pi\) che succede? Come utilizzare questa informazione?
Se sono in $R^2$ e considero il sfi di $(0,0)$ composto dalle palle di raggio $1/n$ e ne faccio l'immagine trovo le palle tagliate al centro in orizzontale diciamo, con solo il punto $(0,0)$ in mezzo che le unisce. Se ne faccio poi la controimmagine arrivo alle palle stesse unita tutta la retta delle x, no?
Mi sto confondendo, da come ne parli sembra sia una cosa facile ma non riesco a vederla!
Mi sto confondendo, da come ne parli sembra sia una cosa facile ma non riesco a vederla!
No, non è affatto facile!
Con tali insiemi anti-immagini riesci a costruire un candidato sfi per \(\displaystyle[(0;0)]_{\sim}\), utilizzando la giusta idea delle "striscie ondulate"?
Con tali insiemi anti-immagini riesci a costruire un candidato sfi per \(\displaystyle[(0;0)]_{\sim}\), utilizzando la giusta idea delle "striscie ondulate"?
Peraltro facendo ciò mi accorgo che dunque le palle immagini non possono mai essere aperti nel quoziente, perché la palla in $R^2$ non è satura rispetto a $pi$, no? Non dovrei avere che la controimmagine dell'immagine rispetto a $pi$ di un aperto $V$ fosse l'aperto stesso? Facendo così se prendo palle che non comprendono tutta la retta $y=0$ non saranno mai sature, perché dopo che faccio $pi$ e $pi^-1$ trovo per forza (almeno) tutta la retta $y=0$.
Dunque mi ritrovo a dover per forza considerare funzioni suriettive (o anche cose che non siano funzioni ma comunque che schiacciate sull'asse $y=0$ lo coprano tutto) per generare aperti nel quoziente. Mi viene a mente che quindi avrei bisogno di tutte queste funzioni.
Dunque mi ritrovo a dover per forza considerare funzioni suriettive (o anche cose che non siano funzioni ma comunque che schiacciate sull'asse $y=0$ lo coprano tutto) per generare aperti nel quoziente. Mi viene a mente che quindi avrei bisogno di tutte queste funzioni.
Tutto corretto; però
Poi come continueresti?
Indizio per il gran finale: considera le funzioni \(\displaystyle f\) descritte di sopra tali che \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0\).
P.S.: Quando si lavora con gli spazi topologici quozienti bisogna sempre ragionare con gli insiemi saturati!
"borador":no: ti bastano funzioni continue \(\displaystyle f\) tali che \(\displaystyle\forall x\in\mathbb{R},\,f(x)>0\lor f(x)<0\).
...mi ritrovo a dover per forza considerare funzioni suriettive...
Poi come continueresti?
Indizio per il gran finale: considera le funzioni \(\displaystyle f\) descritte di sopra tali che \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0\).
P.S.: Quando si lavora con gli spazi topologici quozienti bisogna sempre ragionare con gli insiemi saturati!
D'accordo. Se prendo una qualunque funzione $f$ che tenda a $0$ per $x$ che tende a infinito, $f$ non avrà nessuna retta del tipo $y=1/n$ che le sta tutta al di sotto, per definizione di limite.
Ma allora ti chiedo: perché con le palle di $R^2$ non posso far così? Per esempio, prendere un intorno del punto fatto a spirale che si avvicina al punto, in modo da non poter avere nessuna palla contenuta lì dentro?
Ma allora ti chiedo: perché con le palle di $R^2$ non posso far così? Per esempio, prendere un intorno del punto fatto a spirale che si avvicina al punto, in modo da non poter avere nessuna palla contenuta lì dentro?
"borador":Ovvero come risolvi?
D'accordo...
Alla seconda domanda ci pensiamo dopo, se non l'hai risolta da te!
Risolvo prendendo ogni volta una funzione che si avvicina più velocemente a zero!
E per l'altra cosa, la spirale non può essere un intorno perché in $R^2$ ogni intorno deve contenere una palla!
E per l'altra cosa, la spirale non può essere un intorno perché in $R^2$ ogni intorno deve contenere una palla!
La tua risposta alla prima domanda, oltre ad essere composta di sole chiacchiere, non risponde al fatto che un qualsiasi s.f.i. di \(\displaystyle[(0;0)]_{\sim}\) non può essere numerabile. 
Venendo alla seconda domanda: come può essere una spirale (archimedea, esponenziale, iperbolica e.o.) un intorno di \(\displaystyle(0;0)\)?
Venendo alla seconda domanda: come può essere una spirale (archimedea, esponenziale, iperbolica e.o.) un intorno di \(\displaystyle(0;0)\)?
Per la prima domanda: pensavo che ciò cui volevi farmi arrivare fosse quello, nel senso che se prendo una qualunque retta distante 1/k dall'origine questa non può esser contenuta in ogni "striscia ondulata" perché se prendo una funzione che va più velocemente a zero questa per definizione ammette un punto nel quale la sorpassa. Se non è così ti chiedo per favore di spiegarmi.
Per la seconda domanda: appunto, era un'idea totalmente sbagliata, peraltro non avevo neanche identificato un insieme. E comunque lo identifichi (tipo il complementare della spirale) comunque non ha una palla dentro centrata nel punto, dunque non può essere un intorno.
Per la seconda domanda: appunto, era un'idea totalmente sbagliata, peraltro non avevo neanche identificato un insieme. E comunque lo identifichi (tipo il complementare della spirale) comunque non ha una palla dentro centrata nel punto, dunque non può essere un intorno.
Partendo alla seconda domanda: la spirale è un insieme chiuso e \(\displaystyle(0;0)\) non è ad esso aderente?
Sulla seconda domanda: dimostri solo che quella famiglia numerabile di intorni di \(\displaystyle[(0;0)]_{\sim}\) non è un sfi; prova a ragionare con un generico sfi... altrimenti ci penserò con calma!
Sulla seconda domanda: dimostri solo che quella famiglia numerabile di intorni di \(\displaystyle[(0;0)]_{\sim}\) non è un sfi; prova a ragionare con un generico sfi... altrimenti ci penserò con calma!
Semplifico le notazioni:
\[
X=\mathbb{R}^2_{\displaystyle/\sim};\\
[(0;0)]_{\sim}=\widetilde{0};
\]
e sia \(\displaystyle\mathcal{U}\) un sfi di \(\displaystyle\widetilde{0}\).
Per definizione si ha \(\displaystyle\forall U\in\mathcal{U},\,\pi^{-1}(U)\) è un intorno (aperto) di \(\displaystyle(0;0)\); quindi esiste una palla aperto \(\displaystyle B\) di centro \(\displaystyle(0;0)\) di raggio \(\displaystyle\frac{1}{n}\), con \(\displaystyle n\in\mathbb{N}\) tale che:
\[
B\subseteq\pi^{-1}(U).
\]
Abbiamo capito che le strisce di piano \(\displaystyle S\) delimitate da funzioni continue, a segno costante, non nulle e infinitesime all'infinito sono sottoinsiemi aperti e \(\displaystyle\sim\)-saturi di \(\displaystyle\mathbb{R}^2\); quindi esiste sempre un \(\displaystyle U\in\mathcal{U}\) tale che \(\displaystyle\pi^{-1}(U)\subseteq S\).
Se diamo per scontato che l'insieme:
\[
\mathcal{F}=\left\{f\in C(\mathbb{R};\mathbb{R}):\forall x\in\mathbb{R},\,|f(x)|\neq0;\forall n\in\mathbb{N},\,\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x^n}=0\right\}
\]
è più che numerabile hai concluso!
Sai dirmi il perché? Ti è chiaro il ragionamento?
EDIT L'insieme \(\displaystyle\mathcal{F}\) è più che numerabile in quanto le funzioni \(\displaystyle e^{-\alpha x^2}\) con \(\displaystyle\alpha\in]0;1[\) sono elementi di quell'insieme!
\[
X=\mathbb{R}^2_{\displaystyle/\sim};\\
[(0;0)]_{\sim}=\widetilde{0};
\]
e sia \(\displaystyle\mathcal{U}\) un sfi di \(\displaystyle\widetilde{0}\).
Per definizione si ha \(\displaystyle\forall U\in\mathcal{U},\,\pi^{-1}(U)\) è un intorno (aperto) di \(\displaystyle(0;0)\); quindi esiste una palla aperto \(\displaystyle B\) di centro \(\displaystyle(0;0)\) di raggio \(\displaystyle\frac{1}{n}\), con \(\displaystyle n\in\mathbb{N}\) tale che:
\[
B\subseteq\pi^{-1}(U).
\]
Abbiamo capito che le strisce di piano \(\displaystyle S\) delimitate da funzioni continue, a segno costante, non nulle e infinitesime all'infinito sono sottoinsiemi aperti e \(\displaystyle\sim\)-saturi di \(\displaystyle\mathbb{R}^2\); quindi esiste sempre un \(\displaystyle U\in\mathcal{U}\) tale che \(\displaystyle\pi^{-1}(U)\subseteq S\).
Se diamo per scontato che l'insieme:
\[
\mathcal{F}=\left\{f\in C(\mathbb{R};\mathbb{R}):\forall x\in\mathbb{R},\,|f(x)|\neq0;\forall n\in\mathbb{N},\,\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x^n}=0\right\}
\]
è più che numerabile hai concluso!
Sai dirmi il perché? Ti è chiaro il ragionamento?
EDIT L'insieme \(\displaystyle\mathcal{F}\) è più che numerabile in quanto le funzioni \(\displaystyle e^{-\alpha x^2}\) con \(\displaystyle\alpha\in]0;1[\) sono elementi di quell'insieme!
Non so come ringraziarti!
Qualcuno direbbe che mi dovresti offrire una birra, ma dato che sono astemio: bevi alla mia salute! ; )
Riporto da qui.[/nota]).
Riprendendo la notazione fissata: le funzioni di \(\displaystyle\mathcal{F}\) sono tutte (rapidamente) infinitesime all'infinito, però possono essere "alte" quanto ci pare; ciò mi basta per argomentare che da \(\displaystyle\mathcal{F}\) non si possa estrarre una famiglia numerabile di tali funzioni in modo da ottene un s.f.i. di \(\displaystyle\widetilde{0}\).
Rileggendo l'intero thread, è stato dimostrato che ogni intorno di \(\displaystyle\widetilde{0}\) è contenuto in una striscia aperta di \(\displaystyle\mathbb{R}^2\), che per giunta è \(\displaystyle\sim\)-satura... Cosa mi sfugge? Cosa non ti torna?
"Martino":Io non capisco la parte riportata in blue (e la domanda posta in inglese[nota]Armando abbi cura di pesare qui?
...Comunque non capisco il ragionamento che fa j18eos ...: non credo che si possa dedurre la non-primo-numerabilità dal fatto che ci sono "tantissime" funzioni che vanno a zero: mi sembra che se una famiglia di strisce va bene allora la posso rendere numerabile... insomma non mi è chiaro come segue la non-primo-numerabilità dal fatto che ci sono una quantità non numerabile di strisce che vanno a zero. Armando, care to weigh in?
[/nota]).Riprendendo la notazione fissata: le funzioni di \(\displaystyle\mathcal{F}\) sono tutte (rapidamente) infinitesime all'infinito, però possono essere "alte" quanto ci pare; ciò mi basta per argomentare che da \(\displaystyle\mathcal{F}\) non si possa estrarre una famiglia numerabile di tali funzioni in modo da ottene un s.f.i. di \(\displaystyle\widetilde{0}\).
Rileggendo l'intero thread, è stato dimostrato che ogni intorno di \(\displaystyle\widetilde{0}\) è contenuto in una striscia aperta di \(\displaystyle\mathbb{R}^2\), che per giunta è \(\displaystyle\sim\)-satura... Cosa mi sfugge? Cosa non ti torna?
Tu dici: prendo il candidato punto (che è la classe di zero) e suppongo per assurdo che esista una famiglia [tex]\mathcal{U}[/tex] numerabile di suoi intorni [tex]U_n[/tex]. Ora per ogni striscia [tex]S[/tex] che va a zero, considero [tex]\pi(S)[/tex], questo è un intorno della classe di zero, quindi esiste [tex]U \in \mathcal{U}[/tex] con [tex]U \subseteq \pi(S)[/tex] da cui [tex]\pi^{-1}(U) \subseteq S[/tex] perché [tex]\pi^{-1}(\pi(S)) = S[/tex] (cioè [tex]S[/tex] è saturo). In pratica hai dimostrato che per ogni striscia [tex]S[/tex] esiste [tex]U \in \mathcal{U}[/tex] con [tex]\pi^{-1}(U) \subseteq S[/tex]. Ora dal fatto che ci sono una quantità non numerabile di [tex]S[/tex] deduci che ci sono una quantità non numerabile di [tex]U[/tex]. Come lo deduci esattamente?
PS riguardo alla frase in inglese, vedi qui (punto 3).
PS riguardo alla frase in inglese, vedi qui (punto 3).
(Meglio cancellare tutto!)
Armando, scusa se te lo dico ma spesso il formalismo ti gioca contro: avrai forse un'idea in testa ma non si capisce quale sia. Perché non provi a spendere una riga ogni tanto a descrivere la tua idea a parole?
Ok, questo è il minimo di un insieme finito di numeri positivi quindi è un numero positivo (i [tex]T_n[/tex] sono singoli punti con ordinata positiva). Ripeto, ogni [tex]T_n[/tex] è un unico punto. Non si capisce cosa sia [tex]Z_n[/tex] ma non importa.
Comunque non vedo proprio dove stai usando il fatto che [tex]\mathcal{U}[/tex] è numerabile. Tutto quello che hai detto si potrebbe fare semplicemente bene-ordinando [tex]\mathcal{U}[/tex]. Dove stai usando la numerabilità?
"j18eos":Trovare una striscia che non contiene uno dei [tex]\pi^{-1}(U)[/tex]? Ma non è questo che devi mostrare. Devi mostrare semmai che esiste una striscia che non contiene nessuno dei [tex]\pi^{-1}(U)[/tex].
...lo deduco dal fatto che il bordo di \(\displaystyle S\) cade rapidamente a \(\displaystyle0\); cioè, posso sempre trovare una striscia che non contiene uno di quegli \(\displaystyle\pi^{-1}(U)\).
Se vuoi cambio ragionamento: sia \(\displaystyle\mathcal{U}=\{U_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) un s.f.i. di \(\displaystyle\widetilde{0}\) e \(\displaystyle\mathcal{V}=\pi^{-1}(\mathcal{U})\); abbiamo capito che gli elementi \(\displaystyle V_n\) di \(\displaystyle\mathcal{V}\) sono strisce aperte e \(\displaystyle\sim\)-sature di \(\displaystyle\mathbb{R}^2\) contenenti la retta \(\displaystyle y=0\); siano:? Non capisco. Cosa intendi con [tex]\partial[/tex]? Il bordo? (in tal caso perché non usi la parola "bordo"? Ci risparmieresti tempo). Quindi se ho capito bene dici che un dato [tex]V_n[/tex] è una striscia (su questo posso essere d'accordo) diciamo determinata da due curve [tex]f,g[/tex] con [tex]f < 0 < g[/tex] (è così che io penso a una striscia) e se ho capito bene [tex]\partial^+[/tex] è il "bordo sopra" cioè l'immagine della curva [tex]g[/tex], è giusto? Mentre [tex]\partial V_n[/tex] è l'unione dell'immagine di [tex]f[/tex] con l'immagine di [tex]g[/tex]. Ora tu definisci [tex]T_n[/tex] intersecando [tex]\partial^+ V_n[/tex] con la retta [tex]x=0[/tex] giusto? Ma questo è solo un punto, per la precisione mi risulta che [tex]T_n[/tex] è il punto [tex](0,g(0))[/tex]. Poi tu dici che [tex]T_n[/tex] è identificabile a un sottoinsieme di [tex]\mathbb{R}_{>0}[/tex] che io interpreto come "pensa alla coppia [tex](0,g(0))[/tex] come a solo [tex]g(0)[/tex]". Ok, quindi [tex]T_n[/tex] è identificabile a [tex]\{g(0)\}[/tex].
\[
\partial^{+}V_n=\partial V_n\cap\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y>0\},\\
T_n=\partial^{+}V_n\cap\{x=0\}
\]
e wlog, i \(\displaystyle T_n\) sono identificabili con sottoinsiemi di \(\displaystyle\mathbb{R}_{>0}\).
Definito:
\[
\forall n\in\mathbb{N},\,y_n=\inf\bigcup_{k=1}^nT_n=\inf Z_n>0
\]
Ok, questo è il minimo di un insieme finito di numeri positivi quindi è un numero positivo (i [tex]T_n[/tex] sono singoli punti con ordinata positiva). Ripeto, ogni [tex]T_n[/tex] è un unico punto. Non si capisce cosa sia [tex]Z_n[/tex] ma non importa.
posso sempre trovare una striscia aperta \(\displaystyle S_n\), contenente la retta \(\displaystyle y=0\), tale che il suo bordo abbia un'unica intersezione con la retta \(\displaystyle x=0\) e l'ordinata \(\displaystyle\overline{y}_n\) sia sempre strettamente minore di \(\displaystyle y_n\); ovvero:?? Se volevi una striscia che non conteneva [tex]\pi^{-1}(U_1),\ldots,\pi^{-1}(U_n)[/tex] bastava prenderne una contenuta in [tex]\pi^{-1}(U_1) \cap \ldots \cap \pi^{-1}(U_n)[/tex]. Ma a parte questo, non è questo che ti serve per dedurre un assurdo. Devi trovare una striscia [tex]S[/tex] che non contiene nessuno dei [tex]\pi^{-1}(U)[/tex], non solo un numero finito di essi.
\[
\forall n\in\mathbb{N},\exists S_n\,\text{striscia aperta contenente l'asse delle ascisse}\mid\forall k\in\{1,\dots,n\},\,\pi(S_n)\not\supseteq U_k
\]
in assurdo con l'aver considerato un s.f.i. numerabile \(\displaystyle\mathcal{U}\) di \(\displaystyle\widetilde{0}\).
Comunque non vedo proprio dove stai usando il fatto che [tex]\mathcal{U}[/tex] è numerabile. Tutto quello che hai detto si potrebbe fare semplicemente bene-ordinando [tex]\mathcal{U}[/tex]. Dove stai usando la numerabilità?
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