Sistema fondamentale di intorni numerabile di un quoziente
Ciao ragazzi,
il mio professore di topologia ha detto una cosa che non mi è chiara, potreste aiutarmi?
Prendiamo $R^2$ e quozientiamo secondo questa relazione di equivalenza: tutti i punti che non stanno sull'asse x sono in classi diverse, mentre tutti i punti dell'asse x formano una sola classe. Vogliamo studiare se esista o meno un sistema fondamentale di intorni numerabile di un rappresentante della classe dell'asse x nella topologia quoziente (che è la topologia più fine per la quale la proiezione canonica sia continua), per esempio per il punto $(0,0)$. Lui ha detto di no, e che il motivo va ricercato nella continuità di R, ma non riesco a capire come.
Vi dico i miei ragionamenti: gli intorni dell'origine nel quoziente sono tutte le "strisce" che contengono quello che prima era l'asse x, secondo la topologia quoziente, no? Dunque, per ogni striscia che trovo, non posso far lo stesso ragionamento che faccio con le palle di $R^2$ con la topologia euclidea e prendere sempre una retta che sta a distanza $1/k$, con $k$ in $N$, tale che $1/k$ sia minore della distanza tra la striscia e l'asse x?
Ho pensato che magari il problema sia che non ho solo le strisce dritte diciamo, ma anche tutte le strisce ondulate, perché potrei prendere in $R^2$ palle tutte diverse di punti dell'asse x, in questo modo ho un insieme non numerabile di palle e quindi magari non posso trovare il minimo...
Scusate se mi spiego come le bestie, è un argomento nuovo e sto cercando di districarmici meglio che posso!
Grazie, buona giornata e buon week end!
il mio professore di topologia ha detto una cosa che non mi è chiara, potreste aiutarmi?
Prendiamo $R^2$ e quozientiamo secondo questa relazione di equivalenza: tutti i punti che non stanno sull'asse x sono in classi diverse, mentre tutti i punti dell'asse x formano una sola classe. Vogliamo studiare se esista o meno un sistema fondamentale di intorni numerabile di un rappresentante della classe dell'asse x nella topologia quoziente (che è la topologia più fine per la quale la proiezione canonica sia continua), per esempio per il punto $(0,0)$. Lui ha detto di no, e che il motivo va ricercato nella continuità di R, ma non riesco a capire come.
Vi dico i miei ragionamenti: gli intorni dell'origine nel quoziente sono tutte le "strisce" che contengono quello che prima era l'asse x, secondo la topologia quoziente, no? Dunque, per ogni striscia che trovo, non posso far lo stesso ragionamento che faccio con le palle di $R^2$ con la topologia euclidea e prendere sempre una retta che sta a distanza $1/k$, con $k$ in $N$, tale che $1/k$ sia minore della distanza tra la striscia e l'asse x?
Ho pensato che magari il problema sia che non ho solo le strisce dritte diciamo, ma anche tutte le strisce ondulate, perché potrei prendere in $R^2$ palle tutte diverse di punti dell'asse x, in questo modo ho un insieme non numerabile di palle e quindi magari non posso trovare il minimo...
Scusate se mi spiego come le bestie, è un argomento nuovo e sto cercando di districarmici meglio che posso!
Grazie, buona giornata e buon week end!
Risposte
Dopo aver cancellato tutto (anche dalla mia mente), ricomincio dall'inizio!
Sia \(\displaystyle X\) lo spazio quoziente in esame, ottenuto da \(\displaystyle\mathbb{R}^2\) (con la topologia naturale) e dalla relazione di equivalenza \(\displaystyle\sim\); sia \(\displaystyle\mathcal{U}\) un s.f.i. di \(\displaystyle\widetilde{0}=[(0,0)]_{\sim}\), detta \(\displaystyle\pi:\mathbb{R}^2\to X\) la proiezione canonica, si ha che \(\displaystyle\forall U\in\mathcal{U},\,\pi^{-1}(U)\) è un sottoinsieme aperto di \(\displaystyle\mathbb{R}^2\) contenente la retta \(\displaystyle y=0\) (cioè l'asse delle ascisse).
Chiariamo subito che, a differenza di quanto leggiadramente pensavo: in generale, \(\displaystyle\pi^{-1}(U)\) non è una striscia aperta[nota]Siano \(\displaystyle f\) e \(\displaystyle g\) funzioni continue di \(\displaystyle\mathbb{R}\) in \(\displaystyle\mathbb{R}\) tali che:
\[
\forall x\in\mathbb{R},\,f(x)
Definisco striscia aperta, l'insieme:
\[
\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid f(x)
\[
Z=\bigcup_{n\in\mathbb{N}_0}T_n
\]
per costruzione il suo estremo inferiore \(\displaystyle z\) è non negativo, cioè maggiore o uguale a \(\displaystyle 0\).
Se fosse \(\displaystyle z>0\), considererei la striscia aperta \(\displaystyle S\) delimitata dalle funzioni costanti a \(\displaystyle\pm\frac{z}{2}\) e si avrebbe che:
\[
\forall n\in\mathbb{N},\,U_n\not\subseteq\pi(S).
\]
Però:
[list=1]
[*:h50tjubj]in generale non è \(\displaystyle z>0\);[/*:m:h50tjubj]
[*:h50tjubj]e se anche fosse vero, non resterebbe contraddetta la numerabilità di \(\displaystyle\mathcal{U}\);[/*:m:h50tjubj][/list:o:h50tjubj] quindi questa idea non funziona.
L'importante è aver capito che l'idea non funzione.
Sia \(\displaystyle X\) lo spazio quoziente in esame, ottenuto da \(\displaystyle\mathbb{R}^2\) (con la topologia naturale) e dalla relazione di equivalenza \(\displaystyle\sim\); sia \(\displaystyle\mathcal{U}\) un s.f.i. di \(\displaystyle\widetilde{0}=[(0,0)]_{\sim}\), detta \(\displaystyle\pi:\mathbb{R}^2\to X\) la proiezione canonica, si ha che \(\displaystyle\forall U\in\mathcal{U},\,\pi^{-1}(U)\) è un sottoinsieme aperto di \(\displaystyle\mathbb{R}^2\) contenente la retta \(\displaystyle y=0\) (cioè l'asse delle ascisse).
Chiariamo subito che, a differenza di quanto leggiadramente pensavo: in generale, \(\displaystyle\pi^{-1}(U)\) non è una striscia aperta[nota]Siano \(\displaystyle f\) e \(\displaystyle g\) funzioni continue di \(\displaystyle\mathbb{R}\) in \(\displaystyle\mathbb{R}\) tali che:
\[
\forall x\in\mathbb{R},\,f(x)
Definisco striscia aperta, l'insieme:
\[
\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid f(x)
Supponendo che \(\displaystyle\mathcal{U}\) sia numerabile, definiti per ogni \(\displaystyle n\in\mathbb{N}\) gli insiemi \(\displaystyle T_n\) dei punti di intersezione tra il semiasse positivo delle ordinate e il bordo dell'aperto \(\displaystyle U_n\), tale può essere sia vuoto che composto da finiti o infiniti punti.
Con semplici considerazioni (che ometto), si ha che un'infinità di \(\displaystyle T_n\) sono non vuoti; sia:
\[
Z=\bigcup_{n\in\mathbb{N}_0}T_n
\]
per costruzione il suo estremo inferiore \(\displaystyle z\) è non negativo, cioè maggiore o uguale a \(\displaystyle 0\).
Se fosse \(\displaystyle z>0\), considererei la striscia aperta \(\displaystyle S\) delimitata dalle funzioni costanti a \(\displaystyle\pm\frac{z}{2}\) e si avrebbe che:
\[
\forall n\in\mathbb{N},\,U_n\not\subseteq\pi(S).
\]
Però:
[list=1]
[*:h50tjubj]in generale non è \(\displaystyle z>0\);[/*:m:h50tjubj]
[*:h50tjubj]e se anche fosse vero, non resterebbe contraddetta la numerabilità di \(\displaystyle\mathcal{U}\);[/*:m:h50tjubj][/list:o:h50tjubj] quindi questa idea non funziona.
L'importante è aver capito che l'idea non funzione.
"j18eos":
Sia \(\displaystyle X\) lo spazio quoziente in esame, ottenuto da \(\displaystyle\mathbb{R}^2\) (con la topologia naturale) e dalla relazione di equivalenza \(\displaystyle\sim\); sia \(\displaystyle\mathcal{U}\) un s.f.i. di \(\displaystyle\widetilde{0}=[(0,0)]_{\sim}\), detta \(\displaystyle\pi:\mathbb{R}^2\to X\) la proiezione canonica,
[... eccetera eccetera eccetera eccetera ... ]
[...]e se anche fosse vero, non resterebbe contraddetta la numerabilità di \(\displaystyle\mathcal{U}\); quindi questa idea non funziona.
Viene in mente questo aneddoto di Littlewood tratto dalla pagina di J.S. Milne:
A recent (published) paper had near the beginning the passage
"The object of this paper is to prove (something very important)." It transpired with great difficulty, and not till near the end, that the `object' was an unachieved one.
---Littlewood's Miscellany, p57.
Caro Armando, francamente la chiarezza non è il tuo forte, ma almeno sei in numerosa compagnia!
"j18eos":Vedi, questo è un ottimo esempio in cui se uno legge le cose alla lettera (seguendo il formalismo) trova degli errori, mentre cercando di immaginare qual è la tua idea ci si accorge di cosa veramente ti turba. Perché succede questo? Perché insisti col non scrivere l'idea e col dare troppo spazio alle formule.
Esempio: sia:
\[
A=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\neq0,\,0\leq y<\left|\frac{1}{x}\right|\right\}\cup\{(0,y)\in\mathbb{R}^2\mid y\in\mathbb{R}\}
\]
si ha che \(\displaystyle\pi(A)\) è aperto in \(\displaystyle X\), e in particolare è un intorno di \(\displaystyle\widetilde{0}\); ma \(\displaystyle\pi^{-1}(\pi(A))=A\) non è una striscia aperta, secondo la definizione data.
Il tuo $\pi(A)$ non è un aperto (al contrario di quello che dici, e quando uno si accorge di questo il 30% delle volte te lo perdi come lettore) perché se lo fosse allora per continuità anche [tex]\pi^{-1}(\pi(A)) = A[/tex] lo sarebbe, ma A non è aperto perché contiene parte del suo bordo (l'asse x). Ma questo si può facilmente correggere aggiungendo "roba sotto". Quello che mi sembra ti turbi è il fatto che in questo tuo esempio la A non si mantiene limitata tra due curve ma va verso l'infinito. Lo vedi cosa comporta il formalismo? Il formalismo non riesce da solo a spiegare le idee... le idee si spiegano a parole, il formalismo viene dopo.
Se avrai altre idee sarò felice di leggerti, ciao!
"dissonance":Meno male, mi sento meno solo.
...Caro Armando, francamente la chiarezza non è il tuo forte, ma almeno sei in numerosa compagnia!
"Martino":Hai ragione, ho dimenticato un pezzo.
...Il tuo $ \pi(A) $ non è un aperto (al contrario di quello che dici, e quando uno si accorge di questo il 30% delle volte te lo perdi come lettore) perché se lo fosse allora per continuità anche \( \pi^{-1}(\pi(A)) = A \) lo sarebbe, ma A non è aperto perché contiene parte del suo bordo (l'asse x)...
"Martino":No: non mi turba affatto; anzi, se tornerò sul problema, eventualmente ne terrò conto.
... Quello che mi sembra ti turbi è il fatto che in questo tuo esempio la \(A\) non si mantiene limitata tra due curve ma va verso l'infinito...
Per adesso sono a corto di idee; l'ultimo post, come ho scritto, aveva solo l'intenzione di mostrare che quell'idea non funziona! Lo scrivo per la seconda volta...
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