Sistema equazioni lineare a partire da soluzioni
Ciao a tutti!
Mi si chiede di trovare un sistema di equazioni lineari a partire dalle soluzioni: (1,-1,1)+<(1,2,3)>.
E' la prima volta che mi trovo un esercizio di questo tipo, qualcuno potrebbe darmi una dritta su come procedere? Grazie mille!
Mi si chiede di trovare un sistema di equazioni lineari a partire dalle soluzioni: (1,-1,1)+<(1,2,3)>.
E' la prima volta che mi trovo un esercizio di questo tipo, qualcuno potrebbe darmi una dritta su come procedere? Grazie mille!
Risposte
Quello che ti viene detto è che l'insieme delle soluzioni del sistema è dato dai vettori appartenenti allo spazio $v+$, cioè allo spazio di tutti i vettori del tipo $v+\lambda w,\ \lambda\in RR$. Se ci pensi su un secondo, dovresti capire che dimenione ha quello spazio e da lì ricavare quante equazioni e quante incognite (ovvie) ti servono per tale sistema. Alla fine basta scrivere delle equazioni per cui i vettori generici siano soluzione (in particolare, deve essere soluzione il vettore $v$).
"ciampax":
Quello che ti viene detto è che l'insieme delle soluzioni del sistema è dato dai vettori appartenenti allo spazio $v+$, cioè allo spazio di tutti i vettori del tipo $v+\lambda w,\ \lambda\in RR$. Se ci pensi su un secondo, dovresti capire che dimenione ha quello spazio e da lì ricavare quante equazioni e quante incognite (ovvie) ti servono per tale sistema. Alla fine basta scrivere delle equazioni per cui i vettori generici siano soluzione (in particolare, deve essere soluzione il vettore $v$).
Ciao! Grazie per la risposta intanto.
Quindi dovrei considerare un sistema del tipo
x+y+z=1
x+y+z=-1
E' corretto?
"teopd":
Quindi dovrei considerare un sistema del tipo
x+y+z=1
x+y+z=-1
E' corretto?
No, non ha senso perché $x+y+z$ non può essere contemporaneamente uguale a $1$ e a $-1$.
Consiglio di procedere in questo modo: la generica soluzione, come diceva ciampax, è $$s=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+\lambda\\-1+2\lambda\\1+3\lambda\end{bmatrix}$$ Ora cerchiamo di legare assieme queste espressioni: ad esempio $$2x-y=3$$ e inoltre $$3x-z=2$$ Si potrebbe scrivere anche $$\frac{3}{2}y-z=-\frac{5}{2} \quad\rightarrow\quad 3y-2z=-5$$ ma questa è dipendente dalle altre due già scritte. Un sistema che soddisfa le richieste è quindi $$\begin{cases}2x-y=3\\3x-z=2\end{cases}$$ Tutto chiaro? Come verifica puoi provare a risolverlo e vedere come sono fatte le soluzioni di questo sistema.
"minomic":
Consiglio di procedere in questo modo: la generica soluzione, come diceva ciampax, è $$s=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+\lambda\\-1+2\lambda\\1+3\lambda\end{bmatrix}$$ Ora cerchiamo di legare assieme queste espressioni: ad esempio $$2x-y=3$$ e inoltre $$3x-z=2$$ Si potrebbe scrivere anche $$\frac{3}{2}y-z=-\frac{5}{2} \quad\rightarrow\quad 3y-2z=-5$$ ma questa è dipendente dalle altre due già scritte. Un sistema che soddisfa le richieste è quindi $$\begin{cases}2x-y=3\\3x-z=2\end{cases}$$ Tutto chiaro? Come verifica puoi provare a risolverlo e vedere come sono fatte le soluzioni di questo sistema.
Scusa ma non ho capito come 'leghi' quelle espressioni. Cioe' in base a cosa scegli 2x-y o 3x-z?
Scusa ma sono un po' confuso
Invece di procedere per tentativi nel costruire il sistema richiesto farei così. Intanto la presenza della soluzione
$(1,-1,1)$ al di fuori dello Span ci dice che il sistema richiesto non è omogeneo. Ma esso lo diventa se la soluzione generale la poniamo nella forma :
$(x-1,y+1,z-1)=<1,2,3>$
e consideriamo $x-1,y+1,z-1$ come nuove incognite.
A questo punto si può agire come di consueto in questi casi. Scriviamo la matrice:
\(\displaystyle \begin{pmatrix}1&2&3\\x-1&y+1&z-1\end{pmatrix} \)
e riducendo a scale:
\(\displaystyle \begin{pmatrix}1&2&3\\0&-2x+y+3&-3x+z+2\end{pmatrix} \)
Eguagliando a zero i termini non nulli dell'ultima riga si ha il sistema richiesto:
\(\displaystyle \begin{cases}2x-y-3=0\\3x-z-2=0\end{cases} \)
$(1,-1,1)$ al di fuori dello Span ci dice che il sistema richiesto non è omogeneo. Ma esso lo diventa se la soluzione generale la poniamo nella forma :
$(x-1,y+1,z-1)=<1,2,3>$
e consideriamo $x-1,y+1,z-1$ come nuove incognite.
A questo punto si può agire come di consueto in questi casi. Scriviamo la matrice:
\(\displaystyle \begin{pmatrix}1&2&3\\x-1&y+1&z-1\end{pmatrix} \)
e riducendo a scale:
\(\displaystyle \begin{pmatrix}1&2&3\\0&-2x+y+3&-3x+z+2\end{pmatrix} \)
Eguagliando a zero i termini non nulli dell'ultima riga si ha il sistema richiesto:
\(\displaystyle \begin{cases}2x-y-3=0\\3x-z-2=0\end{cases} \)
Sì in effetti così è più facile, però non ero andato a caso... 
Se abbiamo $x=1+lambda$ e $y=-1+2lambda$ lo scopo è togliere di mezzo i $lambda$. Allora ho semplicemente preso la $x$ e l'ho raddoppiata, ottenendo $2x = 2+2lambda$ Se ora considero il sistema $$\begin{cases}2x=2+2\lambda \\ y=-1+2\lambda\end{cases}$$ e faccio la sottrazione membro a membro ottengo $$2x-y = 3$$ Stesso procedimento per individuare l'altra equazione.
Se abbiamo $x=1+lambda$ e $y=-1+2lambda$ lo scopo è togliere di mezzo i $lambda$. Allora ho semplicemente preso la $x$ e l'ho raddoppiata, ottenendo $2x = 2+2lambda$ Se ora considero il sistema $$\begin{cases}2x=2+2\lambda \\ y=-1+2\lambda\end{cases}$$ e faccio la sottrazione membro a membro ottengo $$2x-y = 3$$ Stesso procedimento per individuare l'altra equazione.
@minomic
Diciamo che il mio metodo è forse un tantino più consueto. Niente di che...
Diciamo che il mio metodo è forse un tantino più consueto. Niente di che...
"ciromario":
@minomic
Diciamo che il mio metodo è forse un tantino più consueto. Niente di che...
Assolutamente d'accordo!
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