Sistema di equazioni lineari nelle incognite x,y,z,w

[domy899]

slave ragazzi mi spieghereste come si svolge passo passo questo esercizio?

sistema:
3x+y-w=1
3y-3z-9w=-3

[DavideGenova1]

Benvenuto! Il modo più comodo per risolvere questo sistema, scritto in forma matriciale
\[\begin{pmatrix}3&1&0&-1\\0&3&-3&-9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}\]
direi che sia lavorare sulla matrice ampliata dei coefficienti e dei termini noti (messi in una colonna addizionale a destra) del sistema riducendola a gradini con l'algoritmo di Gauss-Jordan, in modo da avere per le variabili dipendenti una scaletta di coefficienti unitari con tutti 0 al di sopra, in questo caso dividendo per 3 entrambe le righe e sottraendo $1/3$ di volta la seconda alla prima
\[\begin{pmatrix}3&1&0&-1&1\\0&3&-3&-9&-3\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&\frac{1}{3}&0&-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\0&1&-1&-3&-1\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&\frac{1}{3}&0&-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\0&1&-1&-3&-1\end{pmatrix}\]
\[\to\begin{pmatrix}1&0&\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&\frac{2}{3}\\0&1&-1&-3&-1\end{pmatrix}\]
Abbiamo quindi il sistema equivalente con matrice ridotta
\[\begin{pmatrix}1&0&\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\0&1&-1&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\-1\end{pmatrix}\]
Ora poni le variabili indipendenti, in questo caso scegliamo -ovviamente per comodità- $z$ e $w$, uguali a 0 e calcoli una soluzione particolare \((x,y,z,w)=(\frac{2}{3},-1,0,0)\) cui si sommano, moltiplicati per scalari arbitrari (per i quali qui ho usato le lettere $t$ e $s$), dei vettori di \(\mathbb{R}^4\) che costituiscano una base dello spazio nullo, o nucleo, della nostra matrice, che puoi calcolare -con una colonna di zeri come termine a destra, naturalmente- ponendo di volta in volta tutte le variabili indipendenti uguali a 0, tranne una, che poni uguale a 1, cioè, in questo caso, una base del nucleo (che è appunto l'insieme delle soluzioni dell'equazione omogenea che avresti se la colonna a destra del segno di uguale fosse \((0,0)\)) è formata dai vettori \(z=0,w=1\Rightarrow (x,y,z,w)=(-\frac{2}{3},3,0,1)\) e \(z=1,w=0\Rightarrow (x,y,z,w)=(-\frac{1}{3},1,1,0)\). Quindi hai la soluzione generale
\[\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\-1\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\1\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-\frac{2}{3}\\3\\0\\1\end{pmatrix}\]
che, se preferissi, potresti scrivere, per come sono state scelte le variabili indipendenti $z=s$ e $w=t$, come
$x=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}w-\frac{2}{3}w$ e $y=-1+z+3w$.
Ciao!