Sistema di equazioni lineari
Si consideri il sistema di equazioni lineari:
$\{(kx + y + z = 1),(y + z = k),(3x + ky + 2z = 2):}$
a) Discutere l’esistenza e unicità di soluzioni del sistema lineare al variare di $k in R$
b) Determinare le eventuali soluzioni del sistema al variare di k.
Per ora io ho fatto così. Mi sono trovato il determinante:
$|(k,1,1),(0,1,1),(3,k,2)|$ $=$ $k(2-k)$
Quindi so che per $k!= 0 , 2 $ il sistema è compatibile, svolgo quindi cramer per trovarmi le soluzioni:
$x=|(1,1,1),(k,1,1),(2,k,2)|/[k(2-k)]$ $=$ $(k^2-3k-2)/[k(2-k)]$
$y=|(k,1,1),(0,k,1),(3,2,2)|/[k(2-k)]$ $=$ $(2k^2-5k+3)/[k(2-k)]$
$z=|(k,1,1),(0,1,k),(3,k,2)|/[k(2-k)]$ $=$ $(-k^353k-3)/[k(2-k)]$
Fin qui lo so fare, ovvero che per $k!= 0 , 2 $ il sistema ammette una unica soluzione che sono le, x,y,z trovate.
Invece per $k = 0 , 2 $ come devo procedere?
So che per $k = 0 , 2 $ il determinante diventa nullo, quindi il sistema dovrebbe essere incompatibile, ma alcune volte leggo che è indeterminato per alcuni valori di K, potete dirmi come devo proseguire per $k = 0 , 2 $ ? Grazie e scusate se l'argomento potrebbe essere idiota, ma con la matematica sto rovinato! xD
$\{(kx + y + z = 1),(y + z = k),(3x + ky + 2z = 2):}$
a) Discutere l’esistenza e unicità di soluzioni del sistema lineare al variare di $k in R$
b) Determinare le eventuali soluzioni del sistema al variare di k.
Per ora io ho fatto così. Mi sono trovato il determinante:
$|(k,1,1),(0,1,1),(3,k,2)|$ $=$ $k(2-k)$
Quindi so che per $k!= 0 , 2 $ il sistema è compatibile, svolgo quindi cramer per trovarmi le soluzioni:
$x=|(1,1,1),(k,1,1),(2,k,2)|/[k(2-k)]$ $=$ $(k^2-3k-2)/[k(2-k)]$
$y=|(k,1,1),(0,k,1),(3,2,2)|/[k(2-k)]$ $=$ $(2k^2-5k+3)/[k(2-k)]$
$z=|(k,1,1),(0,1,k),(3,k,2)|/[k(2-k)]$ $=$ $(-k^353k-3)/[k(2-k)]$
Fin qui lo so fare, ovvero che per $k!= 0 , 2 $ il sistema ammette una unica soluzione che sono le, x,y,z trovate.
Invece per $k = 0 , 2 $ come devo procedere?
So che per $k = 0 , 2 $ il determinante diventa nullo, quindi il sistema dovrebbe essere incompatibile, ma alcune volte leggo che è indeterminato per alcuni valori di K, potete dirmi come devo proseguire per $k = 0 , 2 $ ? Grazie e scusate se l'argomento potrebbe essere idiota, ma con la matematica sto rovinato! xD
Risposte
Scrivo il sistema in forma matriciale: ($A$ matrice incompleta e $C$ matrice completa):
$((k,1,1,|1),(0,1,1,|k),(3,k,2,|2))$
$A in M_3(RR) => rank(A)<=3 ,C in M_(3x4)(RR) => rank(C)<=3 $
$det((0,1),(3,2))!=0 => rank(A)=2 vv rank(A)=3$
$rank(A)=2 <=> det ((k,1,1),(0,1,1),(3,k,2))=0 <=> k=0 vv k=2$
"Posto" $k=0 vv k=2$, $2=rank(A)=rank(C) <=> det((bar k,1,1),(0,1,bar k),(3,2,2))=0 <=> bar k = 1 vv bar k = 3/2$ impossibile!
Dunque se:
$k=0 vv k=2=>$ $rank(A)=2 != 3=rank(C):text{no soluzioni!}$
$k!=0 ^^ k!=2 =>$ $rank(A)=3=rank(C) => dim(Sol)=3-3=0 , text{numero soluzioni:} oo^0=1$
$((k,1,1,|1),(0,1,1,|k),(3,k,2,|2))$
$A in M_3(RR) => rank(A)<=3 ,C in M_(3x4)(RR) => rank(C)<=3 $
$det((0,1),(3,2))!=0 => rank(A)=2 vv rank(A)=3$
$rank(A)=2 <=> det ((k,1,1),(0,1,1),(3,k,2))=0 <=> k=0 vv k=2$
"Posto" $k=0 vv k=2$, $2=rank(A)=rank(C) <=> det((bar k,1,1),(0,1,bar k),(3,2,2))=0 <=> bar k = 1 vv bar k = 3/2$ impossibile!
Dunque se:
$k=0 vv k=2=>$ $rank(A)=2 != 3=rank(C):text{no soluzioni!}$
$k!=0 ^^ k!=2 =>$ $rank(A)=3=rank(C) => dim(Sol)=3-3=0 , text{numero soluzioni:} oo^0=1$
Ci sto ragionando sopra xD il fatto è che io di matematica sto davvero messo male e dovrei fare un esame, ma mi sa che dovrò farlo a novembre...
Non ti preoccupare che non è difficile!
Si tratta di saper applicare il teorema di Kronecker e quello di Rouchè-Capelli.
Si tratta di saper applicare il teorema di Kronecker e quello di Rouchè-Capelli.
"lordb":
Scrivo il sistema in forma matriciale: ($A$ matrice incompleta e $C$ matrice completa):
$((k,1,1,|1),(0,1,1,|k),(3,k,2,|2))$
$A in M_3(RR) => rank(A)<=3 ,C in M_(3x4)(RR) => rank(C)<=3 $
$det((0,1),(3,2))!=0 => rank(A)=2 vv rank(A)=3$
$rank(A)=2 <=> det ((k,1,1),(0,1,1),(3,k,2))=0 <=> k=0 vv k=2$
Allora fin qui ho capito, cioè che per $k!=0,2$ => $rank(A)=3$
mentre se $k=0 vv K=2 $ devo trovare un minore che abbia determinante non nullo, una volta trovato capisco che per quei valori
$k=0 vv K=2 rank(A)=2$
"lordb":
"Posto" $k=0 vv k=2$, $2=rank(A)=rank(C) <=> det((bar k,1,1),(0,1,bar k),(3,2,2))=0 <=> bar k = 1 vv bar k = 3/2$ impossibile!
Non ho capito quest'ultimo passaggio, cioè:
$det((bar k,1,1),(0,1,bar k),(3,2,2))=0 <=> bar k = 1 vv bar k = 3/2$ impossibile
Perchè si calcola il determinante di questa matrice?
$((bar k,1,1),(0,1,bar k),(3,2,2))$
e da dove saltano fuori le $bar k$ (non so cosa significa xD)
Allora in breve:
per applicare il teorema di Rouchè-Capelli bisogna studiare al variare di $k$ il rango della matrice incompleta $A$ e quello della matrice completa $C$. Il sistema ammette soluzioni $<=> rank(A)=rank(C)$.
Inoltre bisogna ricordare che posto $m,n in NN$ per una generica matrice $X in M_(m x n)(RR)$ vale $0<=rank(X)<=min{m,n}$.
Il teorema di Kronecker (nella versione più utile) dice che: per una generica matrice $X in M_(m x n)(RR)$ posto $m=min{m,n}$ e $0<=k<=m$, $rank(X)=k$ se esiste un minore di ordine $k$ estratto dalla matrice con determinante diverso da zero tale che tutti i minori orlati (:== costruiti partendo dai coefficienti del minore selezionato) di ordine $k+1$ abbiano determinante diverso da zero.
Dal momento che per i valori $k=0 vv k=2$ si ha $rank(A)=2$ voglio sapere se per quei valori $rank(C)=2 vv rank(C)=3$, quindi devo controllare il determinante dell'unico minore orlato estraibile da $C$. Ho scritto $bar k$ invece che $k$ perchè mi devo ricordare che $k$ ora è fissato: $k=0 vv k=2$.
Evidentemente il sistema: ${(k=0 vv k=2),(k=1 vv k=3/2):}$ non ammette soluzioni dunque $rank(C)_(k=0 vv k=2)=3$
Evidentemente $k!=0 ^^ k!=2 => rank(A)=3 => rank(C)=3$, ti ricordo inoltre che $dim(Sol)=text{numero incognite}-rank(A)$ e che $text{numero soluzioni}=oo^(text{numero incognite}-rank(A))$
Tutto chiaro?
per applicare il teorema di Rouchè-Capelli bisogna studiare al variare di $k$ il rango della matrice incompleta $A$ e quello della matrice completa $C$. Il sistema ammette soluzioni $<=> rank(A)=rank(C)$.
Inoltre bisogna ricordare che posto $m,n in NN$ per una generica matrice $X in M_(m x n)(RR)$ vale $0<=rank(X)<=min{m,n}$.
"lordb":
$A in M_3(RR) => rank(A)<=3 ,C in M_(3x4)(RR) => rank(C)<=3 $
Il teorema di Kronecker (nella versione più utile) dice che: per una generica matrice $X in M_(m x n)(RR)$ posto $m=min{m,n}$ e $0<=k<=m$, $rank(X)=k$ se esiste un minore di ordine $k$ estratto dalla matrice con determinante diverso da zero tale che tutti i minori orlati (:== costruiti partendo dai coefficienti del minore selezionato) di ordine $k+1$ abbiano determinante diverso da zero.
"lordb":
$det((0,1),(3,2))!=0 => rank(A)=2 vv rank(A)=3$
$rank(A)=2 <=> det ((k,1,1),(0,1,1),(3,k,2))=0 <=> k=0 vv k=2$
Dal momento che per i valori $k=0 vv k=2$ si ha $rank(A)=2$ voglio sapere se per quei valori $rank(C)=2 vv rank(C)=3$, quindi devo controllare il determinante dell'unico minore orlato estraibile da $C$. Ho scritto $bar k$ invece che $k$ perchè mi devo ricordare che $k$ ora è fissato: $k=0 vv k=2$.
"lordb":
"Posto" $k=0 vv k=2$, $2=rank(A)=rank(C) <=> det((bar k,1,1),(0,1,bar k),(3,2,2))=0 <=> bar k = 1 vv bar k = 3/2$ impossibile!
Evidentemente il sistema: ${(k=0 vv k=2),(k=1 vv k=3/2):}$ non ammette soluzioni dunque $rank(C)_(k=0 vv k=2)=3$
"lordb":
$k=0 vv k=2=>$ $rank(A)=2 != 3=rank(C):text{no soluzioni!}$
Evidentemente $k!=0 ^^ k!=2 => rank(A)=3 => rank(C)=3$, ti ricordo inoltre che $dim(Sol)=text{numero incognite}-rank(A)$ e che $text{numero soluzioni}=oo^(text{numero incognite}-rank(A))$
"lordb":
$k!=0 ^^ k!=2 =>$ $rank(A)=3=rank(C) => dim(Sol)=3-3=0 , text{numero soluzioni:} oo^0=1$
Tutto chiaro?
"lordb":[/quote]
Dal momento che per i valori $k=0 vv k=2$ si ha $rank(A)=2$ voglio sapere se per quei valori $rank(C)=2 vv rank(C)=3$, quindi devo controllare il determinante dell'unico minore orlato estraibile da $C$. Ho scritto $bar k$ invece che $k$ perchè mi devo ricordare che $k$ ora è fissato: $k=0 vv k=2$.
[quote="lordb"]
"Posto" $k=0 vv k=2$, $2=rank(A)=rank(C) <=> det((bar k,1,1),(0,1,bar k),(3,2,2))=0 <=> bar k = 1 vv bar k = 3/2$ impossibile!
Da quello che ho capito bisogna sostituire la K per 0 e 2 e bisogna vedere se per quei valori $rank(C)=2 vv rank(C)=3$
Però questa matrice non riesco proprio a capire da dove esce fuori
$det((bar k,1,1),(0,1,bar k),(3,2,2))$
Pensavo che i valori $k=2,0$ bisognava sostituirli nella matrice nativa, ovvero:
$det((k,1,1),(0,1,k),(3,k,2))$
Ok credo che tu non abbia capito bene il significato di minore orlato (rileggiti quello che ti ho scritto):
se ho $A=((a^1_1,a^1_2,a^1_3,|a^1_4),(a^2_1,a^2_2,a^2_3,|a^2_4),(a^3_1,a^3_2,a^3_3,|a^3_4))=((k,1,1,|1),(0,1,1,|k),(3,k,2,|2))$
Scelto il minore $M=((0,1),(3,2))=((a^2_1,a^2_3),(a^3_1,a^3_3))$ l'unico minore orlato di $M$ contenuto in $A$ è $A$ stessa $A=((a^1_1,a^1_2,a^1_3),(a^2_1,a^2_2,a^2_3),(a^3_1,a^3_2,a^3_3))=((k,1,1),(0,1,1),(3,k,2))$!!
L'altro minore orlato di $M$ è contenuto in $C$ ed è $((a^1_1,a^1_3,a^1_4),(a^2_1,a^2_3,a^2_4),(a^3_1,a^3_3,a^3_4))=((k,1,1),(0,1, k),(3,2,2))$
se ho $A=((a^1_1,a^1_2,a^1_3,|a^1_4),(a^2_1,a^2_2,a^2_3,|a^2_4),(a^3_1,a^3_2,a^3_3,|a^3_4))=((k,1,1,|1),(0,1,1,|k),(3,k,2,|2))$
Scelto il minore $M=((0,1),(3,2))=((a^2_1,a^2_3),(a^3_1,a^3_3))$ l'unico minore orlato di $M$ contenuto in $A$ è $A$ stessa $A=((a^1_1,a^1_2,a^1_3),(a^2_1,a^2_2,a^2_3),(a^3_1,a^3_2,a^3_3))=((k,1,1),(0,1,1),(3,k,2))$!!
L'altro minore orlato di $M$ è contenuto in $C$ ed è $((a^1_1,a^1_3,a^1_4),(a^2_1,a^2_3,a^2_4),(a^3_1,a^3_3,a^3_4))=((k,1,1),(0,1, k),(3,2,2))$
"BelgyBrown":[/quote][/quote]
[quote="lordb"]
Dal momento che per i valori $k=0 vv k=2$ si ha $rank(A)=2$ voglio sapere se per quei valori $rank(C)=2 vv rank(C)=3$, quindi devo controllare il determinante dell'unico minore orlato estraibile da $C$. Ho scritto $bar k$ invece che $k$ perchè mi devo ricordare che $k$ ora è fissato: $k=0 vv k=2$.
[quote="lordb"]
"Posto" $k=0 vv k=2$, $2=rank(A)=rank(C) <=> det((bar k,1,1),(0,1,bar k),(3,2,2))=0 <=> bar k = 1 vv bar k = 3/2$ impossibile!
ok, allora dunque, mi trovo l'unico minore che è possibile estrarre dalla matrice completa (di conseguenza devo per forza includere l'ultima colonna), fin qui ci sono xD poi...
OK ho capito (almeno credo!) xD FINALMENTE! Ora provo un altro esercizio per vedere se ho capito! xD
Grazie mille, non appena lo faccio, lo posto qui, per vedere i risultati insieme
Grazie mille, non appena lo faccio, lo posto qui, per vedere i risultati insieme
Ok vai !
"lordb":
Ok vai !
Dunque risolvo questo sistema:
$\{(kx_1 - x_2 - x_3 = 0),(2x_1 - x_2 + kx_3 = 0),( x_1 + x_3 = k):}$
Innanzitutto mi calcolo determinante della matrice dei coefficienti
$A$ = $|(k,-1,-1),(2,-1,k),(1,0,1)| = -2k+1$
$rank(A)=3$ per $k!=1/2$
Quindi passo a trovare un minore della matrice dei coefficienti per vedere se il determinante è diverso da zero, in quel caso il rango sarà due.
$M |(k,-1,),(1,0)| = +1$ $detM != 0 $ quindi $rank(A)=2 vv rank(A)=3$
$rank(A)=2 \Leftrightarrow |A|=0 \Leftrightarrow k= 1/2$
posto $k=0 vv k=2$
$2= rank(A)= rank(C) \Leftrightarrow |A| =0 \Leftrightarrow K= 0 vv K=1$
ma per $k=0 vv K=2 $ $rank(A)=2!=3= rank (C)$ quindi per $K=0 vv K=1$ nessuna soluzione
poi faccio cramer per trovarmi le soluzioni a $K!=1/2$
se ho sbagliato qualcosa correggimi
Ciao m i sembra tutto corretto 
Ti consiglio tuttavia di cercare in $A$ subito il minore con il determinante $!=0$ per determinare immediatamente il rango minimo della matrice incompleta .
In spoiler la mia soluzione:
Ti consiglio tuttavia di cercare in $A$ subito il minore con il determinante $!=0$ per determinare immediatamente il rango minimo della matrice incompleta .
In spoiler la mia soluzione:
Ok , capito, per questo genere di esercizio, mi sembra tutto ok xD il guaio è con quelli un pò diversi, poi nel caso, posto qui, grazie mille
Di niente
Ciao lordb, questa tipologia che mi hai spiegato le procedure penso di averle capite. Ora devo cercar di capire quelle in cui il sistema lineare presenta due incognite in tre equazioni, tipo questo esercizio qui, che chiede di risolvere il sistema lineare:
$\{(x + y = 2),(x + t = 1),(x - y = 0):}$
Come si risolve questo? (lo so è un esercizio stupido ma il guaio è che io e la matematica non andiamo d'accordo
)
$\{(x + y = 2),(x + t = 1),(x - y = 0):}$
Come si risolve questo? (lo so è un esercizio stupido ma il guaio è che io e la matematica non andiamo d'accordo
)
Ciao,
è uguale a prima:
$((1,1,|2),(1,0,|1-t),(1,-1,|0))$
è uguale a prima:
$((1,1,|2),(1,0,|1-t),(1,-1,|0))$
"lordb":
Ciao,
$((x+y),(x),(x-y))=((2),(1-t),(0))$
Da qui dunque dovrei fare
$\{( x + y = 2),( x = 1 - t ),( x - y = 0):}$
$\{( x + y = 2),( x = 1 - t ),( x = y ):}$
$\{(y + y = 2),( x = 1 - t ),( x = y ):}$
$\{( y = 1 ),( x = 1 - t ),( x = y):}$
$\{( y = 1 ),( x = 1 - t ),( x = 1 ):}$
$\{( y = 1 ),(1 = 1 - t ),( x = 1 ):}$
$\{( y = 1 ),(t = 0),( x = 1 ):}$
Ok mi trovo
haha grazie
Giusto per vedere se risolvo bene ti scrivo questa:
$\{( x + y + t = 1 ),(x - y + t = 0 ):}$
Quindi :
$\{( x + y = 1 - t ),(x - y = - t ):}$
$\{( x + y = 1 - t ),(x = y - t ):}$
$\{( y - t + y = 1 - t ),(x = y - t ):}$
$\{( 2y = 1 ),(x = y - t ):}$
$\{( y = 1/2 ),(x = 1/2 - t ):}$
soluzioni dunque
$x = 1/2 - t; y = 1/2$
$\{( x + y + t = 1 ),(x - y + t = 0 ):}$
Quindi :
$\{( x + y = 1 - t ),(x - y = - t ):}$
$\{( x + y = 1 - t ),(x = y - t ):}$
$\{( y - t + y = 1 - t ),(x = y - t ):}$
$\{( 2y = 1 ),(x = y - t ):}$
$\{( y = 1/2 ),(x = 1/2 - t ):}$
soluzioni dunque
$x = 1/2 - t; y = 1/2$
scusa lordb, ho questo esercizio lo risolvo, soltanto che non mi trovo come la soluzione del libro (ora non so se la soluzione è sbagliata o meno).
$\{( x + y + t = 0),(x + y - t = 1 ):}$
Risolvo:
$\{( x + y = - t ),(x + y = 1 + t ):}$
$\{( x = - t - y),(x + y = 1 + t ):}$
$\{( x = - t - y),(- t - y + y = 1 + t ):}$
$\{( x = - t - y),(- t - t = 1 ):}$
$\{( x = - t - y),(- 2 t = 1 ):}$
$\{( x = - t - y),(t = - 1/2 ):}$
$\{( x = + 1/2 - y),(t = - 1/2 ):}$
la soluzione quindi dovrebbe essere solo $t= - 1/2$
il libro invece mi da: sistema indeterminato : $(x,y,1/2)$ $x,y \epsilon R$
invece di $1/2$ mi trovo $-1/2$ sai dirmi se ho sbagliato qualche calcolo oppure ho fatto bene?
$\{( x + y + t = 0),(x + y - t = 1 ):}$
Risolvo:
$\{( x + y = - t ),(x + y = 1 + t ):}$
$\{( x = - t - y),(x + y = 1 + t ):}$
$\{( x = - t - y),(- t - y + y = 1 + t ):}$
$\{( x = - t - y),(- t - t = 1 ):}$
$\{( x = - t - y),(- 2 t = 1 ):}$
$\{( x = - t - y),(t = - 1/2 ):}$
$\{( x = + 1/2 - y),(t = - 1/2 ):}$
la soluzione quindi dovrebbe essere solo $t= - 1/2$
il libro invece mi da: sistema indeterminato : $(x,y,1/2)$ $x,y \epsilon R$
invece di $1/2$ mi trovo $-1/2$ sai dirmi se ho sbagliato qualche calcolo oppure ho fatto bene?
"BelgyBrown":
scusa lordb, ho questo esercizio lo risolvo, soltanto che non mi trovo come la soluzione del libro (ora non so se la soluzione è sbagliata o meno).
$\{( x + y + t = 0),(x + y - t = 1 ):}$
Si vede ad occhio che le equazioni sono indipendenti, dunque il sistema ammette $oo^(3-2)=oo^1$ soluzioni.
Sia $x=alpha$ un parametro reale:
${(x=alpha),(y=-alpha-t),(t=alpha-alpha-t-1):} ->{(x=alpha),(y=1/2-alpha),(t=-1/2):}$
$Sol={(x,y,t)=(alpha,1/2-alpha,-1/2)|alpha in RR}$
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