Sistema di equazioni lineari

[SandroBelgiorno]

Si consideri il sistema di equazioni lineari:

$\{(kx + y + z = 1),(y + z = k),(3x + ky + 2z = 2):}$

a) Discutere l’esistenza e unicità di soluzioni del sistema lineare al variare di $k in R$
b) Determinare le eventuali soluzioni del sistema al variare di k.

Per ora io ho fatto così. Mi sono trovato il determinante:

$|(k,1,1),(0,1,1),(3,k,2)|$ $=$ $k(2-k)$

Quindi so che per $k!= 0 , 2 $ il sistema è compatibile, svolgo quindi cramer per trovarmi le soluzioni:
$x=|(1,1,1),(k,1,1),(2,k,2)|/[k(2-k)]$ $=$ $(k^2-3k-2)/[k(2-k)]$

$y=|(k,1,1),(0,k,1),(3,2,2)|/[k(2-k)]$ $=$ $(2k^2-5k+3)/[k(2-k)]$

$z=|(k,1,1),(0,1,k),(3,k,2)|/[k(2-k)]$ $=$ $(-k^353k-3)/[k(2-k)]$

Fin qui lo so fare, ovvero che per $k!= 0 , 2 $ il sistema ammette una unica soluzione che sono le, x,y,z trovate.
Invece per $k = 0 , 2 $ come devo procedere?
So che per $k = 0 , 2 $ il determinante diventa nullo, quindi il sistema dovrebbe essere incompatibile, ma alcune volte leggo che è indeterminato per alcuni valori di K, potete dirmi come devo proseguire per $k = 0 , 2 $ ? Grazie e scusate se l'argomento potrebbe essere idiota, ma con la matematica sto rovinato! xD

[SandroBelgiorno]

"lordb":[quote="BelgyBrown"]scusa lordb, ho questo esercizio lo risolvo, soltanto che non mi trovo come la soluzione del libro (ora non so se la soluzione è sbagliata o meno).
$\{( x + y + t = 0),(x + y - t = 1 ):}$

Si vede ad occhio che le equazioni sono indipendenti, dunque il sistema ammette $oo^(3-2)=oo^1$ soluzioni.

Sia $x=alpha$ un parametro reale:

${(x=alpha),(y=-alpha-t),(t=alpha-alpha-t-1):} ->{(x=alpha),(y=1/2-alpha),(t=-1/2):}$

$Sol={(x,y,t)=(alpha,1/2-alpha,-1/2)|alpha in RR}$

Riguarda questa parte quando farai le equazioni differenziali ordinarie di ordine $n$.

Puoi anche vederlo così:

$(alpha,1/2-alpha,-1/2)=alpha(1,-1,0)+(0,1/2,-1/2)$

$Sol=L(1,-1,0)+(0,1/2,-1/2)$

Vuol dire che lo spazio delle soluzioni è uno spazio affine che si ottiene con una traslazione di ampiezza $(0,1/2,-1/2)$ dello spazio vettoriale delle soluzioni del sistema omogeneo associato.

Dim:
Supponiamo che tu abbia una soluzione $bar x$ particolare del sistema non omogeneo:

$T(bar x)=b_(in Im(T)) =>A_T*bar x = b$

Trova tutte le soluzioni $hat x$ dell'omogeneo:

$A_T*hat x = 0$

$A_T*hat x + A_T*bar x = b$

$A_T*(hat x + bar x) = b$

[/quote]


La soluzione del libro è diversa, è si un sistema infinito (dice indeterminato ma penso sia la stessa cosa) ma come soluzione:
$Sol={(x,y,t)=(x,y,1/2) x,y in RR}$

[lordb]

$\{( x + y + t = 0),(x + y - t = 1 ):}$

La soluzione del libro è diversa, è si un sistema infinito (dice indeterminato ma penso sia la stessa cosa) ma come soluzione:
$Sol={(x,y,t)=(x,y,1/2) x,y in RR}$

Secondo la soluzione del libro allora un vettore del tipo: $(3,100,1/2)$ dovrebbe essere soluzione,ma:

$\{( 3 + 100 + 1/2 != 0),(3 + 100 - 1/2 != 1 ):}$

[adrianuska]

Ciao a tutti, sono contenta di avervi trovati, ho un sistema di equazioni, ho iniziato a risolverlo ma dopo mi sono confusa

x1+3x2+x3=5
x1+x2+5x3=-7
2x1+x2+x3=2 ho iniziato cosi la prima equazione ho fatto x1=5-3x2-x3, poi sono andata a sostituire questo nella seconda e terza equazione, quindi ho: (5-3x2-x3)+x2+5x3=-7; -2x2+4x3=-12(seconda equazione);
2(5-3x2-x3)+x2+x3=2; 10-6x2-2x3+x2+x3=2; -5x2-x3=-8(terza eq.) poi da qui ho fatto x3=-5x2-8 e sono andata a sostituire nella seconda eq. -2x2+4(-5x2-8)=-12=-11/10... e gia' ho sbagliato

PERFAVORE Illuminatemi dove ho sbagliato?

Tantissime grazie