Sistema di equazioni e Rouchè-Capelli

[gcappellotto]

Salve a tutti
propongo il seguente problema

Siano date le matrici $A=((2,1,0), (0,1,0),(0,0,1),(0,0,k))$ $b=((0),(0),(2),(6))$
si consideri il sistema $Ax=b$ con $x \in R^3$

Mediante il teorema di Rouchè-Capelli, dire per quali valori di $k$ il sistema ammette soluzion

Conosco il teorema di Rouchè-Capelli dove si afferma che un sistema ha soluzioni quando la matrice completa e quella incompleta hanno lo stesso rango.
Il mio problema è che non riesco a scrivere il sistema di equazioni.
Dovrebbe anche essere $|A|\ne 0$ ma come faccio a calcolarlo visto che la matrice non è quadrata?
Ammetto la mia ignoranza sull'argomento quindi gradirei qualche indicazione.
Grazie e saluti
Giovanni C.

[Gi81]

\(\displaystyle [\begin{array}{c|c} A&b \end{array}] = \left[\begin{array}{c c c| c} 2&1&0&0\\ 0&1&0&0\\0&0&1&2\\0&0&k&6 \end{array}\right]\)
Il sistema ammette soluzioni se e solo se il rango della matrice incompleta è uguale a quello della matrice completa.
Quanto è il rango di \(A\)? Essendo una matrice \(4 \times 3\) può avere al massimo rango \(3\). E effettivamente ha proprio rango \(3\) perchè il minore \(\displaystyle 3\times3 \)costituito dalle prime tre righe e tre colonne ha determinante non nullo.

E quanto viene il rango della matrice completa?

[giuscri]

"gcappellotto":Ma come faccio a calcolarlo visto che la matrice non è quadrata?

Be' ...proprio proprio il determinante non lo puoi calcolare -l\applicazione e' definita per sole matrici quadrate.
Tuttavia per trovare il rango di una matrice rettangolare puoi sempre usare quello che `da noi' e' noto come teorema di Kronecker -aka metodo degli orlati. Oppure vai di eliminazione di Gauss!