Sistema con parametro, dubbio

[effez]

Il sistema è
x+kz=k
x-y=1
2x+ky+(4-k)z=2k
Come risultati del determinante dei coefficienti ho trovato k=1 e k=-4.
Il sistema risulta essere determinato per k diverso da 1 e -4?
Se k=-4 il rango dei coefficienti è 2 e il rango della matrice completa è 3 quindi è impossibile?
Inoltre se k=1 il rango della matrice dei coefficienti è 2 e di quella completa è 2, le mie incognite sono 4 quindi ho infinito alla 2 soluzioni ed è indeterminato?

[Berationalgetreal]

Innanzitutto, non hai 4 variabili ma 3; la $k$ è fissata, non è soluzione del sistema. Poi, ti consiglio di usare l'algoritmo di Gauss, per non confonderti come purtroppo credo sia successo. Ridotta la matrice a scala, ottieni:

[tex]\left ( \begin{matrix} 1 & 0 & k \\ 0 & 1 & k \\ 0 & 0 & 4 -3k -k^2 \end{matrix} \left | \begin{matrix} k \\ 1 -k \\ k-1 \end{matrix} \right | \right )[/tex]

Da cui risulta chiaro che il sistema ha infinito alla $1$ soluzioni se $k = 1$, ed è incompatibile se $k = -4$.

[effez]

È giusto affermare che quando il sistema è indeterminato l'insieme di tutte le soluzione non costituisce uno spazio vettoriale (in questo caso)?