Simmetrie di un triangolo isoscele ....
Cari ragazzi c'è una piccola problematica che vorrei condividere con voi : vien richiesto di definire il gruppo delle simmetrie di un triangolo isoscele e a chi esso possa essere isomorfo . Beh facendo due osservazioni le uniche simmetrie che si scovano sono l'identità e il ribaltamento rispetto all'altezza relativa alla base . Fino a questo punto fila bene il ragionamento ?
Per quanto concerne l'isomorfismo , ho pensato di rifarmi alle permutazioni di $ S_3 $ , che ne dite ? Ringrazio anticipatamente per la collaborazione !
Per quanto concerne l'isomorfismo , ho pensato di rifarmi alle permutazioni di $ S_3 $ , che ne dite ? Ringrazio anticipatamente per la collaborazione !
Risposte
Non direi. Il gruppo \(\displaystyle \mathfrak{S}_3 \) (ogni tanto viene segnato così invece di \(\displaystyle S_3 \) e ora mi va di scriverlo così 
) è isomorfo al gruppo delle simmetrie di un triangolo equilatero.
Hai detto bene riguardo a quali sono le permutazioni. Se ce ne sono solamente due che gruppo sarà?
) è isomorfo al gruppo delle simmetrie di un triangolo equilatero.Hai detto bene riguardo a quali sono le permutazioni. Se ce ne sono solamente due che gruppo sarà?
Io ho pensato ad $S_2$! Che dici? Ma come dimostro che sono solo due?
Si si , $ S_3 $ è isomorfo a quelle del triangolo equilatero ! Mi verrebbe quasi da dire $ S_2 $ dal momento che sono solo due i movimenti interessati e dato che il nostro vertice non viene in alcun modo leso . Spero di non aver detto un'eresia !
Non ce ne possono essere delle altre , qualunque asse tu voglia considerare !
Dimostramelo!
Bastano gli occhi per queste questioni geometriche U_U
Andiamo... la dimostrazione è banale:
1) ogni permutazione del triangolo è una permutazione dei vertici (quindi appartiene a \(\displaystyle \mathfrak{S}_3 \))
2) ogni permutazione del triangolo isoscele fissa il vertice comune ai due lati uguali (a meno che non sia equilatero) in quanto nessuno degli altri due vertici può essere, in generale, mandato in quel vertice (l'altezza che passa per il terzo vertice non è un asse di simmetria del triangolo e i due lati uguali non possono essere mandati nella base).
3) ogni permutazione del triangolo isoscele è una permutazione dei due vertici della base.
Quindi si potrebbe pensare che \(\displaystyle \mathfrak{S}_2 \) sia la risposta definitiva ma dubito che sia quella che mi aspetterei di sentirmi dire da uno che sto interrogando (anche se io come studente sto dalla parte opposta e quindi intendo in termini di immedesimazione nel professore).
Un piccolo aiuto:
1) ogni permutazione del triangolo è una permutazione dei vertici (quindi appartiene a \(\displaystyle \mathfrak{S}_3 \))
2) ogni permutazione del triangolo isoscele fissa il vertice comune ai due lati uguali (a meno che non sia equilatero) in quanto nessuno degli altri due vertici può essere, in generale, mandato in quel vertice (l'altezza che passa per il terzo vertice non è un asse di simmetria del triangolo e i due lati uguali non possono essere mandati nella base).
3) ogni permutazione del triangolo isoscele è una permutazione dei due vertici della base.
Quindi si potrebbe pensare che \(\displaystyle \mathfrak{S}_2 \) sia la risposta definitiva ma dubito che sia quella che mi aspetterei di sentirmi dire da uno che sto interrogando (anche se io come studente sto dalla parte opposta e quindi intendo in termini di immedesimazione nel professore).
Un piccolo aiuto:
Comunque quando dicevo " basta l'occhio" mi riferivo al fatto che non ci fossero altre simmetrie se non quelle definite all'inizio del post !
Infatti la mia risposta era per Mrhaha che l'aveva chiesta. In ogni caso non hai ancora capito a che bel gruppo abeliano mi riferissi (per \(\displaystyle n<3 \) non ha molto senso usare la scrittura \(\displaystyle \mathfrak{S}_n \)).
Per quanto concerne la tua domanda direi $ ZZ _2 $ ed $ S_2 $ .....
Vict85 , mi sento sotto esame 
"menale":
Per quanto concerne la tua domanda direi $ ZZ _2 $ ed $ S_2 $ .....
no... $S_2$ è un gruppo ciclico. Quindi ce n'è soltanto uno. Beh, a questo punto si vede che il professore non ve l'ha mai fatto notare. Fino a ordine 4 c'è un solo gruppo di quell'ordine. A ordine 4 ci sono \(\displaystyle \mathbb{Z}_4 \) e \(\displaystyle V= \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2 \) (le simmetrie di un rettangolo). Con ordine 5 c'è solo \(\displaystyle \mathbb{Z}_5 \) e per il 6 ci sono il gruppo ciclico ed \(\displaystyle S_3 = D_3 \).http://it.wikipedia.org/wiki/Tavola_dei_gruppi_piccoli
Caspita da 4 in poi so , difatti a sei trovi $ S_3 $ e $ ZZ_6 $ !!!!!!!!
Molto interessante questa tavola dei gruppi piccoli . Non sapevo di queste considerazioni da farsi su queste piccole cardinalità !
Quindi per ordine due si considera a meno di isomorfismi $ S_2 $ , vero ?
no, in genere si considera $\mathbb{Z}_2$ o $\{1,-1\}$ (con la moltiplicazione)
Bene , bene . Quindi per il mio problema faccio riferimento a $ ZZ _2 $ ???
Secondo me è la risposta più "espressiva".
Oddio , in che senso ? 
Scusami Vict85 , le simmetrie son due e se $ S_2 $ non lo si considera credo che come alternativa sia più ragionevole prendere in considerazione $ ZZ _2 $ , cosa che non vada ?
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