Similitudine tra matrici triangolari
Salve.
Ho il seguente problema: Data una matrice quadrata, simile ad una triangolare inferiore e simile ad una triangolare inferiore, dire se questa è diagonalizzabile.
Ho eseguito i seguenti passaggi:
\( \exists P\in GL_n(K):T_s=P^{-1}AP \)
è La condizione affinchè la matrice sia simile ad una triangolare superiore. analogamente per quella inferiore:
\( \exists G\in GL_n(K):T_i=G^{-1}AG \)
da cui si arriva tramite semplici passaggi algebrici alla conclusione:
\( (P^{-1}G)^{-1}T_s(P^{-1}G)=T_i \)
Ossia la similitudine tra la matrice triangolare superiore e quella inferiore.
La domanda è quindi: posso trovare in questo risultato un vincolo che mi dica che le due matrici sono simili se e solo se \( T_i \) è diagonale oppure la similitudine tra matrici del genere è pienamente possibile ?
Ho il seguente problema: Data una matrice quadrata, simile ad una triangolare inferiore e simile ad una triangolare inferiore, dire se questa è diagonalizzabile.
Ho eseguito i seguenti passaggi:
\( \exists P\in GL_n(K):T_s=P^{-1}AP \)
è La condizione affinchè la matrice sia simile ad una triangolare superiore. analogamente per quella inferiore:
\( \exists G\in GL_n(K):T_i=G^{-1}AG \)
da cui si arriva tramite semplici passaggi algebrici alla conclusione:
\( (P^{-1}G)^{-1}T_s(P^{-1}G)=T_i \)
Ossia la similitudine tra la matrice triangolare superiore e quella inferiore.
La domanda è quindi: posso trovare in questo risultato un vincolo che mi dica che le due matrici sono simili se e solo se \( T_i \) è diagonale oppure la similitudine tra matrici del genere è pienamente possibile ?
Risposte
'Data una matrice quadrata, simile ad una triangolare SUPERIORE e simile ad una triangolare inferiore, dire se questa è diagonalizzabile.'
Una matrice triangolare superiore, non diagonale, può essere simile/coniugata ad una matrice triangolare inferiore e non diagonale?
Se si, il problema per come posto domanda una ricerca di risposta, altrimenti la risposta è nel suo enunciato:
se una matrice triangolare superiore è simile/coniugata ad una matrice triangolare inferiore SOLO SE almeno una delle due è intesa come matrice diagonale...
La matrice quadrata del caso sarebbe data già simile/coniugata ad una matrice diagonale.
Una matrice triangolare superiore, non diagonale, può essere simile/coniugata ad una matrice triangolare inferiore e non diagonale?
Se si, il problema per come posto domanda una ricerca di risposta, altrimenti la risposta è nel suo enunciato:
se una matrice triangolare superiore è simile/coniugata ad una matrice triangolare inferiore SOLO SE almeno una delle due è intesa come matrice diagonale...
La matrice quadrata del caso sarebbe data già simile/coniugata ad una matrice diagonale.
@achille_lauro: Mi pare che quanto dici sia esattamente la riscrittura dell'idea di FrancescoP. Che purtroppo non va in porto (battuta ispirata dal tuo nick 
- che spiritoso).
Per esempio la matrice
\[
A=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]
è simile alla matrice
\[
B=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 1 & 1\end{bmatrix}.\]
Infatti se \(P=\begin{bmatrix} 0& 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\) allora \(P=P^{-1}\) e
\[
PAP=B.\]
- che spiritoso). Per esempio la matrice
\[
A=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]
è simile alla matrice
\[
B=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 1 & 1\end{bmatrix}.\]
Infatti se \(P=\begin{bmatrix} 0& 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\) allora \(P=P^{-1}\) e
\[
PAP=B.\]
Ringrazio per l' attenzione veramente simpatica!
Tra parentesi: purtroppo, achille_lauro non è solo il nickname: è pure il nome nome mio (senza underscore).
Relativamente al quesito, allora, è sufficiente valutare se una qualsiasi delle matrici triangolari sia diagonalizzabile,
ad esempio, riconoscendo se gli elementi diagonali siano tutti distinti (coincidenza della molteplicità algebrica di ciascun autovalore con la propria molteplicità geometrica), oppure valutando molteplicità algebrica e geometrica degli autovalori (riconosciuti negli elementi diagonali). avvalendosi del polinomio minimo.
Tra parentesi: purtroppo, achille_lauro non è solo il nickname: è pure il nome nome mio (senza underscore).
Relativamente al quesito, allora, è sufficiente valutare se una qualsiasi delle matrici triangolari sia diagonalizzabile,
ad esempio, riconoscendo se gli elementi diagonali siano tutti distinti (coincidenza della molteplicità algebrica di ciascun autovalore con la propria molteplicità geometrica), oppure valutando molteplicità algebrica e geometrica degli autovalori (riconosciuti negli elementi diagonali). avvalendosi del polinomio minimo.
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