Simboli di Christoffel
Buonasera a tutti,
cercherò di essere breve, ma devo premettere che la notazione di Einstein mi risulta alquanto scomoda; leggendo la dispensa Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relatività che ho trovato su questo forum, vengono introdotti i simboli di Christoffel come:
\(\displaystyle\Gamma_{ij}^k=\frac{1}{2}g^{hk}\left(\frac{\partial g_{ih}}{\partial x^j}+\frac{\partial g_{jh}}{\partial x^i}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^h}\right)\)
Presa per buona questa definizione, io mi trovo davanti a questo dilemma: rileggendo i miei appunti ho trovato che la definizione di simboli di Christoffel di II specie è
\(\displaystyle\frac{\partial e_j}{\partial x^k}=\Gamma_{jk}^i e_i\)
Se le due scritture siano equivalenti, spero possiate dirmelo voi. Adesso però vengo al vero problema, parlando di accelerazione materiale mi viene detto che la base generale si calcola come
\(\displaystyle e_a=\frac{\partial z^i}{\partial x^a}i_i\)
bene, dovendo ora derivare la base generale scriviamo
\(\displaystyle \frac{\partial e_a}{\partial x^b} =\frac{\partial}{\partial x^b}\left( \frac{\partial z^i}{\partial x^a}i_i \right)\)
sfortunatamente il passaggio successivo è quello che mi da problemi in quanto viene scritto
\(\displaystyle \frac{\partial^2 z^i}{\partial x^a \partial x^b} \frac{\partial x^c}{\partial z^i} e_c = \gamma_{ab}^c e_c\)
La domanda è: perché tutta quella scritta diventa un simbolo di Christoffel? C'è qualcuno che riesce a spiegarmi questa cosa? Non sto discutendo sul fatto che la gamma sia minuscola invece che maiuscola, quello mi è chiaro. Se poi ho trascurato informazioni essenziali vi prego di farmelo sapere.
Ringrazio da subito chiunque mi vorrà rispondere.
cercherò di essere breve, ma devo premettere che la notazione di Einstein mi risulta alquanto scomoda; leggendo la dispensa Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relatività che ho trovato su questo forum, vengono introdotti i simboli di Christoffel come:
\(\displaystyle\Gamma_{ij}^k=\frac{1}{2}g^{hk}\left(\frac{\partial g_{ih}}{\partial x^j}+\frac{\partial g_{jh}}{\partial x^i}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^h}\right)\)
Presa per buona questa definizione, io mi trovo davanti a questo dilemma: rileggendo i miei appunti ho trovato che la definizione di simboli di Christoffel di II specie è
\(\displaystyle\frac{\partial e_j}{\partial x^k}=\Gamma_{jk}^i e_i\)
Se le due scritture siano equivalenti, spero possiate dirmelo voi. Adesso però vengo al vero problema, parlando di accelerazione materiale mi viene detto che la base generale si calcola come
\(\displaystyle e_a=\frac{\partial z^i}{\partial x^a}i_i\)
bene, dovendo ora derivare la base generale scriviamo
\(\displaystyle \frac{\partial e_a}{\partial x^b} =\frac{\partial}{\partial x^b}\left( \frac{\partial z^i}{\partial x^a}i_i \right)\)
sfortunatamente il passaggio successivo è quello che mi da problemi in quanto viene scritto
\(\displaystyle \frac{\partial^2 z^i}{\partial x^a \partial x^b} \frac{\partial x^c}{\partial z^i} e_c = \gamma_{ab}^c e_c\)
La domanda è: perché tutta quella scritta diventa un simbolo di Christoffel? C'è qualcuno che riesce a spiegarmi questa cosa? Non sto discutendo sul fatto che la gamma sia minuscola invece che maiuscola, quello mi è chiaro. Se poi ho trascurato informazioni essenziali vi prego di farmelo sapere.
Ringrazio da subito chiunque mi vorrà rispondere.
Risposte
Ne so veramente poco, provo a risponderti ugualmente sperando di non dire sciocchezze.
Nella tua definizione stai usando la derivata parziale di un vettore vettore tangente $e_i$, che su varietà astratte non è definita.
Se assumiamo che la varietà sia immersa in $RR^n$ invece possiamo vedere un vettore dello spazio tangente come un vettore nello spazio $RR^m$ ($m <= n$ è la dimensione della varietà) e quindi usare le usuali regole di calcolo differenziale. Ma siamo in un caso specifico e non generale!
Penso possa aiutarti a capire questa sezione di Wikipedia che introduce la derivata covariante utilizzando l'immersione in $RR^n$:
https://en.wikipedia.org/wiki/Covariant ... dean_space
In definitiva, la definizione di simbolo di Christoffel generale è la prima, la seconda è una roba che va bene nel caso particolare di essere in $RR^n$.
Nella tua definizione stai usando la derivata parziale di un vettore vettore tangente $e_i$, che su varietà astratte non è definita.
Se assumiamo che la varietà sia immersa in $RR^n$ invece possiamo vedere un vettore dello spazio tangente come un vettore nello spazio $RR^m$ ($m <= n$ è la dimensione della varietà) e quindi usare le usuali regole di calcolo differenziale. Ma siamo in un caso specifico e non generale!
Penso possa aiutarti a capire questa sezione di Wikipedia che introduce la derivata covariante utilizzando l'immersione in $RR^n$:
https://en.wikipedia.org/wiki/Covariant ... dean_space
In definitiva, la definizione di simbolo di Christoffel generale è la prima, la seconda è una roba che va bene nel caso particolare di essere in $RR^n$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo