Significato geometrico delta negativo
buon giorno a tutti!
un esercizio mi chiede di dare una spiegazione geometrica ad un sistema omogeneo di 3 incognite e 3 equazioni al variare di un parametro "a".
provo a risolverlo e ottengo un'equazione di secondo grado con delta minore di zero..cosa significa!?..avrò soluzioni solo in campo complesso !?...quindi qual'è il signìficato geometrico!?..grazie
un esercizio mi chiede di dare una spiegazione geometrica ad un sistema omogeneo di 3 incognite e 3 equazioni al variare di un parametro "a".
provo a risolverlo e ottengo un'equazione di secondo grado con delta minore di zero..cosa significa!?..avrò soluzioni solo in campo complesso !?...quindi qual'è il signìficato geometrico!?..grazie
Risposte
Dipende dal metodo che hai usato e sopratutto da cos'è l'equazione di secondo grado che hai trovato. Nel senso come sei arrivato ad averla. Inoltre il sistema omogeneo è lineare?
$ | ( a , -2 , a ),( 1 , -1 , 3 ),( 1 , 5 , 5a ) | $ non ho trovato il simbolo di sistema..cmq lo risolvo con la laplace per vedere per quali valori di 'a' i vettori sono linearmente indipendenti!...è corretto!?.....(è un sistema omogeneo)..grazie
Immagino tu sia arrivato al punto di chiederti per quali valori di $a$ il determinante è nullo. Ebbene, sono gli stessi valori di $a$ che risolvono l'equazione che ti sei ritrovato!
si...ok..li trovo....e se il determinante che trovo è corretto il sistema non ammette soluzioni reali.....il fatto che il problema mi chiede di dare un significato geometrico alle soluzioni trovate...
Ma le soluzioni non le hai ancora trovate, mi sembra! Hai solo detto che il determinante non è mai zero.
le soluzioni dovrebbero essere in campo complesso.(se ho fatto bene i conti)....se fossero in campo reale potrei riuscire a dare un significato geometrico alle soluzioni trovate---- ma in questo caso se non sbaglio le soluzioni sono in campo complesso e non socome dare un'interpretazione geometrica!..il mio probema non è tanto quello di risolvere il sistema, ma quello di riuscire a dare un interpretazione geometria delle soluzioni in campo complesso...
Schiodati da questa "interpretazione di soluzioni complesse". Il delta negativo ti dice solamente che il determinante non è mai nullo [sempre che io abbia capito di quale equazione stai parlando]. Ora trova delle soluzioni del sistema e POI interpreti quelle soluzioni.
le soluzioni che ottengo dal sistema sono 2, distinte e appartengono ai complessi.
L'esercizio non consiste nel capire per quali valori di $a$ il sistema ha soluzioni, ma che significato geometrico ha quel sistema. Il primo passaggio è comunque quello di determinare il numero di soluzioni del problema al variare di $a$ come hai già fatto, ma non termina con questo calcolo. Se non ho sbagliato i calcoli il determinante dovrebbe venire
$|(a, -2, a),(1, -1, 3),(1, 5, 5a)| = -5a^2 - 6 + 5a - 15a + 10a + a = -5a^2 + a - 6$,
dove il discriminante è $1 - 4(-5)(-6)$ che è minore di zero. Non esistono quindi valori reali di $a$ per cui il discriminante sia nullo ed esiste sempre un'unica soluzione al sistema per ogni $a$. Esiste cioè un unico punto $P(a)$ soluzione del sistema omogeneo dato che corrisponda al parametro $a$. Geometricamente hai quindi una curva parametrica piana (nel senso che è contenuta nel piano determinato dalla seconda equazione del sistema che non dipende da $a$. Puoi provare ad esplicitare il sistema per ottenere la curva parametrica se lo desideri.
$|(a, -2, a),(1, -1, 3),(1, 5, 5a)| = -5a^2 - 6 + 5a - 15a + 10a + a = -5a^2 + a - 6$,
dove il discriminante è $1 - 4(-5)(-6)$ che è minore di zero. Non esistono quindi valori reali di $a$ per cui il discriminante sia nullo ed esiste sempre un'unica soluzione al sistema per ogni $a$. Esiste cioè un unico punto $P(a)$ soluzione del sistema omogeneo dato che corrisponda al parametro $a$. Geometricamente hai quindi una curva parametrica piana (nel senso che è contenuta nel piano determinato dalla seconda equazione del sistema che non dipende da $a$. Puoi provare ad esplicitare il sistema per ottenere la curva parametrica se lo desideri.
posso dire che per ogni valore di 'a' appartenente a R i vettori sono linearmente indipendenti!?...(non sono paralleli e non giaciono su uno stesso piano!?)
"apatriarca":
L'esercizio non consiste nel capire per quali valori di $a$ il sistema ha soluzioni, ma che significato geometrico ha quel sistema. Il primo passaggio è comunque quello di determinare il numero di soluzioni del problema al variare di $a$ come hai già fatto, ma non termina con questo calcolo. Se non ho sbagliato i calcoli il determinante dovrebbe venire
$|(a, -2, a),(1, -1, 3),(1, 5, 5a)| = -5a^2 - 6 + 5a - 15a + 10a + a = -5a^2 + a - 6$,
dove il discriminante è $1 - 4(-5)(-6)$ che è minore di zero. Non esistono quindi valori reali di $a$ per cui il discriminante sia nullo ed esiste sempre un'unica soluzione al sistema per ogni $a$. Esiste cioè un unico punto $P(a)$ soluzione del sistema omogeneo dato che corrisponda al parametro $a$. Geometricamente hai quindi una curva parametrica piana (nel senso che è contenuta nel piano determinato dalla seconda equazione del sistema che non dipende da $a$. Puoi provare ad esplicitare il sistema per ottenere la curva parametrica se lo desideri.
scusa non avevo visto questa risposta!posso dire che per ogni valore di 'a' il sistema ammette una sola soluzione!?
provo a esplicitarla anche se non sono molto pratico....
e riguardo al mio ultimo intervento!'?....per ogni 'a' i 3 vettori sono lin-indipendenti !?è sbagliato!??
grazie
È corretto, perché il rango di una matrice ti indica il numero di vettori linearmente indipendenti che compongono le sue righe.
ok...un'ultima cosa.... la parametrizazzione è analoga a quella per le rette !?(cioè ho una retta come intersezione di 2 piani e da qui la 'trasformo' in forma parametrica')?..
cmq..
grazie mille!
cmq..
grazie mille!
Non ho capito cosa vuoi dire, ma penso che la risposta sia "sì" XD
..uauauau.....grazie per la fiducia!....dai dai ci provo e ti faccio sapere......
No, nel caso della retta hai 2 piani fissi e la retta ne è l'intersezione. In questo caso hai 3 piani che variano a seconda di un parametro $a$. Il punto sulla curva che corrisponde ad un certo valore del parametro è quello che si ottiene risolvendo il sistema con quel valore sostituito ad $a$. Per ottenere l'equazione della curva devi semplicemente risolvere il sistema. La soluzione dipenderà da $a$.
@apatriarca: bravo tu, se hai capito la domanda 
Se però il sistema è omogeneo il punto è $\vec{0}$ per ogni $a$, in altre parole i tre piani cambiano al mutare di $a$ ma la loro intersezione rimane sempre l'origine. Se invece si sceglie un vettore $\vec{b}$ qualsiasi allora si avrà in generale una curva dipendente da $a$ come detto da Antonio.
Supponiamo di avere $A(a)\vec{x} = \vec{b}$. Siccome $det A(a) = 0$ per ogni $a$ allora la soluzione del sistema è unica e quindi ad ogni $a$ si può associare la soluzione $\vec{x}$ del sistema $A(a)\vec{x} = \vec{b}$. Questa associazione è ovviamente una funzione da $R$ a $R^3$ e quindi una curva parametrica (eventualmente ridotta ad un punto come nel caso del sistema omogeneo).
Supponiamo di avere $A(a)\vec{x} = \vec{b}$. Siccome $det A(a) = 0$ per ogni $a$ allora la soluzione del sistema è unica e quindi ad ogni $a$ si può associare la soluzione $\vec{x}$ del sistema $A(a)\vec{x} = \vec{b}$. Questa associazione è ovviamente una funzione da $R$ a $R^3$ e quindi una curva parametrica (eventualmente ridotta ad un punto come nel caso del sistema omogeneo).
quindi nel mio caso non ottengo una curva parametrica!....quindi qual'è la risposta alla domanda...dai un significato geometrico alle soluzioni trovate!?..ripeto..a me verrebbe da dire: i 3 vettori sono linearmente indipendenti per qualsiasi valore di 'a' appartenete a R!è corretto!?
Bhe.. Una curva parametrica non è altro che una funzione (continua) da un intervallo di $RR$ a un qualche spazio (in questo caso $RR^3$). Non ci avevo fatto caso che il sistema fosse omogeneo, ma si tratta pur sempre di una curva, la curva costante $P(a) = 0$. Ogni riga del tuo sistema rappresenta un fascio di piani, piani che per ogni $a$ fissato hanno come unica intersezione il punto $0$ (sono cioè in posizione generale). I 3 vettori di cui parli sono i vettori normali a questi piani e, come hai detto tu, sono linearmente indipendenti. Preferisco però vedere le righe di un sistema lineare come iperpiani e non come vettori (concetto che a mio parere si generalizza più facilmente al caso in cui il sistema non fosse lineare).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo