Siano u e w i seguenti sottospazi.............
buondì avrei un'ulteriore dubbio su quest esercizio....
siano u={(x,y,z,t)}app R^4/y-t=0,x+y+z=0}
w=(L(1,-1,-1,0),(0,-1,-1,1))
stabilire quali dei seguenti vettori appartengono al sottospazio u+w
(io ora ne mettero una tanto mi interessa il procedimento)
(1,1,1,-2)
potreste spiegarmi da 0 questo esercizio?
siano u={(x,y,z,t)}app R^4/y-t=0,x+y+z=0}
w=(L(1,-1,-1,0),(0,-1,-1,1))
stabilire quali dei seguenti vettori appartengono al sottospazio u+w
(io ora ne mettero una tanto mi interessa il procedimento)
(1,1,1,-2)
potreste spiegarmi da 0 questo esercizio?
Risposte
"memphis":
buondì avrei un'ulteriore dubbio su quest esercizio....
siano u={(x,y,z,t)}app R^4/y-t=0,x+y+z=0}
w=(L(1,-1,-1,0),(0,-1,-1,1))
stabilire quali dei seguenti vettori appartengono al sottospazio u+w
(io ora ne mettero una tanto mi interessa il procedimento)
(1,1,1,-2)
potreste spiegarmi da 0 questo esercizio?
per piacere aiutatemi l'esame è lunedi......
Direi che la cosa migliore sia calcolarsi una base di $U + W$...
una base non vale la pena..
$v in U+W <=> exists u in U, w in W t.c. v=u+w$
Quindi se trovi (giochicchiando con i vettori) due vettori in U e in W che soddisfano questa non val la pena fare altro..
E se non ci riesci subito?
Trovi $u_1,u_2 in U t.c. U=L(u_1,u_2)$
trovi $w_1,w_2 in W t.c. W=L(w_1,w_2)$
(in questo caso $w_1$ e $w_2$ ce li hai già)
e così $U+W=L(u_1,u_2,w_1,_2)$
E puoi fare con questi
Se poi vuoi una base puoi sempre applicare il metodo degli scarti successivi e trovi una base di $U+W$
$v in U+W <=> exists u in U, w in W t.c. v=u+w$
Quindi se trovi (giochicchiando con i vettori) due vettori in U e in W che soddisfano questa non val la pena fare altro..
E se non ci riesci subito?
Trovi $u_1,u_2 in U t.c. U=L(u_1,u_2)$
trovi $w_1,w_2 in W t.c. W=L(w_1,w_2)$
(in questo caso $w_1$ e $w_2$ ce li hai già)
e così $U+W=L(u_1,u_2,w_1,_2)$
E puoi fare con questi
Se poi vuoi una base puoi sempre applicare il metodo degli scarti successivi e trovi una base di $U+W$
"Gaal Dornick":
una base non vale la pena..
$v in U+W <=> exists u in U, w in W t.c. v=u+w$
Quindi se trovi (giochicchiando con i vettori) due vettori in U e in W che soddisfano questa non val la pena fare altro..
E se non ci riesci subito?
Trovi $u_1,u_2 in U t.c. U=L(u_1,u_2)$
trovi $w_1,w_2 in W t.c. W=L(w_1,w_2)$
(in questo caso $w_1$ e $w_2$ ce li hai già)
e così $U+W=L(u_1,u_2,w_1,_2)$
E puoi fare con questi
Se poi vuoi una base puoi sempre applicare il metodo degli scarti successivi e trovi una base di $U+W$
non potreste cortesemente svolgerlo quell'esercizio?
se esistono piu metodi e se avete voglia potreste usarli per svolgere l'lesercizio praticamente,perche penso che vedendolo svolto è piu facile capirlo
Ti guido e poi mi fai sapere:
1) Risolvi il sistema di equazioni che determinano U: y=t e x=-z-t, quindi U sarà costiituito dai vettori del tipo
(-z-t,t,z,t) con z e t che variano in R. Una base di U è costituita dai vettori (-1,0,1,0) e (-1,1,0,1).
Un sistema di generatori dello spazio U+W sarà costituito da 4 vettori, i due che generano W e gli ultimi due che generano U. Se questi quattro vettori li metti in riga costruisci una matrice 4x4:
-1 0 1 0
-1 1 0 1
1 -1 -1 0
0 -1 -1 1
Se fai ben caso la quarta colonna è somma della 1 e 3 colonna cambiata di segno, questo vuol dire che quella matrice ha detrminante zero e quindi U+W non coincide con R^4. Ma si vede facilmente che i primi tre vettori riga sono indipendenti (Utilizza il teorema degli orlati) e quindi il sottospazio U+W ha dimensione 3. Se vuoi trovare una sua rappresentazione cartesiana fai in questo modo:
In pratica U+W è l'insieme delle quaterne del tipo a(-1,0,1,0)+b(-1,1,0,1)+c(1,-1,-1,0) con a, b e c variano in R
-a-b+c=x
b-c=y
a-c=z
b=t
Risolvendo questo ultimo sistema e togliendo i parametri a,b e c troverai una equazione in 4 variabili che rappresenta il sottospazio U+W cioè
x+z+t=0
1) Risolvi il sistema di equazioni che determinano U: y=t e x=-z-t, quindi U sarà costiituito dai vettori del tipo
(-z-t,t,z,t) con z e t che variano in R. Una base di U è costituita dai vettori (-1,0,1,0) e (-1,1,0,1).
Un sistema di generatori dello spazio U+W sarà costituito da 4 vettori, i due che generano W e gli ultimi due che generano U. Se questi quattro vettori li metti in riga costruisci una matrice 4x4:
-1 0 1 0
-1 1 0 1
1 -1 -1 0
0 -1 -1 1
Se fai ben caso la quarta colonna è somma della 1 e 3 colonna cambiata di segno, questo vuol dire che quella matrice ha detrminante zero e quindi U+W non coincide con R^4. Ma si vede facilmente che i primi tre vettori riga sono indipendenti (Utilizza il teorema degli orlati) e quindi il sottospazio U+W ha dimensione 3. Se vuoi trovare una sua rappresentazione cartesiana fai in questo modo:
In pratica U+W è l'insieme delle quaterne del tipo a(-1,0,1,0)+b(-1,1,0,1)+c(1,-1,-1,0) con a, b e c variano in R
-a-b+c=x
b-c=y
a-c=z
b=t
Risolvendo questo ultimo sistema e togliendo i parametri a,b e c troverai una equazione in 4 variabili che rappresenta il sottospazio U+W cioè
x+z+t=0
"weblan":
Ti guido e poi mi fai sapere:
1) Risolvi il sistema di equazioni che determinano U: y=t e x=-z-t, quindi U sarà costiituito dai vettori del tipo
(-z-t,t,z,t) con z e t che variano in R. Una base di U è costituita dai vettori (-1,0,1,0) e (-1,1,0,1).
Un sistema di generatori dello spazio U+W sarà costituito da 4 vettori, i due che generano W e gli ultimi due che generano U. Se questi quattro vettori li metti in riga costruisci una matrice 4x4:
-1 0 1 0
-1 1 0 1
1 -1 -1 0
0 -1 -1 1
Se fai ben caso la quarta colonna è somma della 1 e 3 colonna cambiata di segno, questo vuol dire che quella matrice ha detrminante zero e quindi U+W non coincide con R^4. Ma si vede facilmente che i primi tre vettori riga sono indipendenti (Utilizza il teorema degli orlati) e quindi il sottospazio U+W ha dimensione 3. Se vuoi trovare una sua rappresentazione cartesiana fai in questo modo:
In pratica U+W è l'insieme delle quaterne del tipo a(-1,0,1,0)+b(-1,1,0,1)+c(1,-1,-1,0) con a, b e c variano in R
-a-b+c=x
b-c=y
a-c=z
b=t
Risolvendo questo ultimo sistema e togliendo i parametri a,b e c troverai una equazione in 4 variabili che rappresenta il sottospazio U+W cioè
x+z+t=0
ok fino a qua tutto ok ho capito,poi per vedere se il vettore (1,1,1,-2) appartiene a u+w cosa devo fare?
I vettori dello spazio U+W sono tutti e soli quelli che verificano l'equazione. Devi controllare che il vettore soddisfa l'equazione e il tuo vettore si "comporta bene".
"weblan":
I vettori dello spazio U+W sono tutti e soli quelli che verificano l'equazione. Devi controllare che il vettore soddisfa l'equazione e il tuo vettore si "comporta bene".
allora nel caso del vettore che ti ho proposto bisogna sostituirei valori 1,1,1,-2 a x+z+t=0
verrebbe 1+1-2=0.....quindi in questo caso il vettore appartiene,è giusto quello che ho fatto?
si!
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