Sezioni sulla striscia di Mobius

[cianfa72]

Ciao,
ho un dubbio sulla striscia di Mobius.

Essa e' definita come lo spazio quoziente di \(\displaystyle R^2 \) secondo una specifica relazione di equivalenza.

Realizzando la stricia con un lembo di carta "contorto" incollando le estremita' si vede facilmente che la superficie ha una sola faccia.

Ora il mio dubbio e': partendo da un punto e "circumnavigando" la striscia ci si ritrova dal lato opposto. Il punto che si ottiene e' sulla stessa fibra del punto di partenza ?

Grazie.

[megas_archon]

Sì, è sulla stessa fibra, ma il punto è che non esiste un lato "opposto", ce n'è solo uno. Percorrendolo con un cammino lungo \(\ell\) se il rettangolo aveva lato lungo \(\ell\), sei tornato al punto di prima e lo hai chiuso. Se lo percorri per altri \(\ell\) non stai percorrendolo "dall'altra parte", dato che questa "altra parte" non esiste.

Ciò che ti trae in inganno sono le proprietà fisiche dell'oggetto che costruisci, che sono simili, ma non uguali, a quelle topologiche dell'oggetto matematico.

[cianfa72]

Scusami, se la striscia di carta ha lato lungo \(\displaystyle l \), non basterebbe percorrerlo per una lunghezza \(\displaystyle l \) per ritornare su un punto sulla stessa fibra di partenza ?

[megas_archon]

uh, sì, ho scritto pensando al raggio della circonferenza attorno a cui ruota il coso, lol

[cianfa72]

Ok, quindi dopo un giro lungo \(\displaystyle l \) si ritorna su un punto sulla fibra di partenza. A partire da questo punto percorrendo nuovamente il nastro di Mobius si passa sempre per punti su fibre "già precedentemente attraversate" anche se da un punto di vista di "realizzazione" della manifold attraverso la striscia di carta "contorta e chiusa" si passa su una nuova "faccia" mai prima attraversata.

Giusto?

[cianfa72]

Altra cosa: una sezione smooth del nastro deve necessariamente assumere valore zero in qualche punto ?
In altre parole: sono possibili sezioni smooth ovunque non nulle sul nastro di Mobius?