Settore circolare ma non solo...
Se ho un settore circolare i cui lati formano un angolo retto (ossia si tratta di un quarto di cerchio). Il raggio è pari a r. Se all'interno di questo settore circolare inscrivo un cerchio, quale sarà il suo raggio?
Grazie
Grazie
Risposte
La mia idea di base (un po' grezza forse 
) è questa: si tira il raggio interno al settore e formante un angolo di 45° con i due raggi "limite" e si prende come centro del cerchio cercato un punto su tale raggio tale che la "distanza" dalla circonferenza (cioè dalla tangente alla circonferenza nel punto di intersezione con questo nuovo raggio) sia uguale alla distanza dai due raggi "limite". In altri termini, detto $R$ il raggio del cerchio di partenza e $r$ quello del cerchio inscritto, deve accadere che:
$(R-r)sin45=r$
da cui
$r=sqrt(2)/(1+sqrt(2))R$
) è questa: si tira il raggio interno al settore e formante un angolo di 45° con i due raggi "limite" e si prende come centro del cerchio cercato un punto su tale raggio tale che la "distanza" dalla circonferenza (cioè dalla tangente alla circonferenza nel punto di intersezione con questo nuovo raggio) sia uguale alla distanza dai due raggi "limite". In altri termini, detto $R$ il raggio del cerchio di partenza e $r$ quello del cerchio inscritto, deve accadere che:$(R-r)sin45=r$
da cui
$r=sqrt(2)/(1+sqrt(2))R$
ciao a tutti,
sicuramente il risultato di "qqwert" è esatto, per dimostrarlo,ponendo il settore circolare in un piano cartesiano, quindi nel primo quadrante,e essendo:
$O$ centro del settore circolare
$O'$ centro della circonferenza inscritta
$T$ il punto di tangenza del settore con la circonferenza
$OO'A$ triangolo rettangolo isoscele con $A$ sulle ascisse e $O'A$ parallelo alle ordinate
$OTB$ triangolo rettangolo isoscele con $T$ sulle ascisse e$TB$ parallelo alle ordinate
affinchè valga il risultato di "qqwert" i segmenti $AO'$ e $O'T$ devono essere uguali
per intenderci $O'T$ è proprio $r$, mentre $AO'$ è $(R-r)sin45$
ciò implica che il triangolo $AO'T$ deve essere isoscele..
il triangolo $OAO'$ retto in $A$ ha gli altri 2 angoli uguali e quindi pari a $45$ gradi.
il triangolo $OTA$ rispetto a $OAO'$ ha in comune l'angolo in $O$ pari a $45$ gradi,mentre l'angolo in $A$ pari a $90+x$ gradi e l'angolo in $T$ pari a $45-y$ gradi , con $x$ e $y$ proprio i 2 angoli alla base del triangolo $AO'T$ che vogliamo dimostrare essere isoscele.
dovendo essere la somma interna degli angoli di un triangolo pari a $180$ gradi
per il triangolo $OTA$ si ha:
$45+(90+x)+(45-y)=180$
da cui risulta che $x-y=0$ ==> $x=y$ per cui il triangolo $AO'T$ è isoscele, e la formula è verificata...
ciao a tutti
sicuramente il risultato di "qqwert" è esatto, per dimostrarlo,ponendo il settore circolare in un piano cartesiano, quindi nel primo quadrante,e essendo:
$O$ centro del settore circolare
$O'$ centro della circonferenza inscritta
$T$ il punto di tangenza del settore con la circonferenza
$OO'A$ triangolo rettangolo isoscele con $A$ sulle ascisse e $O'A$ parallelo alle ordinate
$OTB$ triangolo rettangolo isoscele con $T$ sulle ascisse e$TB$ parallelo alle ordinate
affinchè valga il risultato di "qqwert" i segmenti $AO'$ e $O'T$ devono essere uguali
per intenderci $O'T$ è proprio $r$, mentre $AO'$ è $(R-r)sin45$
ciò implica che il triangolo $AO'T$ deve essere isoscele..
il triangolo $OAO'$ retto in $A$ ha gli altri 2 angoli uguali e quindi pari a $45$ gradi.
il triangolo $OTA$ rispetto a $OAO'$ ha in comune l'angolo in $O$ pari a $45$ gradi,mentre l'angolo in $A$ pari a $90+x$ gradi e l'angolo in $T$ pari a $45-y$ gradi , con $x$ e $y$ proprio i 2 angoli alla base del triangolo $AO'T$ che vogliamo dimostrare essere isoscele.
dovendo essere la somma interna degli angoli di un triangolo pari a $180$ gradi
per il triangolo $OTA$ si ha:
$45+(90+x)+(45-y)=180$
da cui risulta che $x-y=0$ ==> $x=y$ per cui il triangolo $AO'T$ è isoscele, e la formula è verificata...
ciao a tutti
ciao, io propongo una soluzione grafica, http://immagini.p2pforum.it/out.php/i23 ... segno1.jpg . Il cerchio del disegno è di raggio 2.
la soluzione di $ qwwert $ è molto elegante, ma $ (R−r)sin45=r $ diventa $ r=sqrt(2)/(2+sqrt(2))R= R/(sqrt(2)+1) $
complimenti per l'idea grafica
complimenti per l'idea grafica
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