Secondo teorema di Laplace

[Deb12]

Salve a tutti qualcuno potrebbe darmi un esercizio già risolto utilizzando il secondo teorema di Laplace?
Grazie a tutti

[Alexp1]

Beh, ma se conosci il primo teorema, il secondo è identico, tranne che, al posto di utilizzare gli elementi di una riga, utilizza quelli di una colonna!

Comunque sia, ti faccio un esempio.....

Prendiamo la matrice $A=|(1,2,3),(-2,-1,-3), (0,-4,1)|$, ci scegliamo una colonna a piacere, ad esempio la prima e calcoliamo la somma dei prodotti degli elementi di tale colonna per i rispettivi complementi algebrici:

$detA=1*((1*(-1))-(-3*(-4)))-(-2)*((2*1)-(3*(-4)))+0*((2*(-3))-(3*(-1)))$, ossia $detA=1*(-13)+2*(14)=15$

Spero ti sia chiaro, ciao!

[Deb12]

Il secondo teorema di Laplace non è quello che intendi tu ma il suo enunciato è il seguente:
In ogni matrice A la somma dei prodotti degli elementi di una colonna o di una riga per i complementi algebrici degli elementi corrispondenti di un'altra colonna o riga è nulla

[Alexp1]

Sinceramente, non lo conosco.....anche dando una sbirciata in wikipedia, come secondo Th di Laplace si trova il seguente:
"Il determinante di una matrice quadrata $M$ è pari alla somma dei prodotti degli elementi di una colonna qualsiasi per i rispettivi complementi algebrici".

Aspettiamo allora che intervenga qualcun'altro!

[Deb12]

Va bhe grazie comunque per aver risposto

[Alexp1]

Ho capito, aspetta che ti posto un esempio!!!

[Alexp1]

Allora, prendiamo sempre la matrice di prima....

$A=|(1,2,3),(-2,-1,-3), (0,-4,1)|$, ci scegliamo una riga a piacere, ad esempio la seconda e moltiplichiamo gli elementi di questa riga, per i complementi di un'altra riga sempre a piacere, per esempio la prima....

$-2*((-1)*(1)-(-3)*(-4))-(-1)*((-2)*(1)-(-3)*(0))-3*((-2)*(-4)-(-1)*(0))$, ossia $-2(-13)+1*(-2)-3*(8)=26-2-24=0$

[Alexp1]

La dimostrazione è abbastanza immediata....

Sia $A$ la matrice $|(a,b,c),(d,e,f),(g,h,i)|$, allora per il secondo th di Laplace (scegliendo ad esempio di moltiplicare gli elementi della seconda, per i complementi della prima) si ottiene:

$d|(e,f),(h,i)|-e|(d,f),(g,i)|+f|(d,e),(g,h)|=dei-dfh-edi+efg+fdh-feg=0$

infatti per la proprietà commutativa della moltiplicazione si ha:

$dei-edi=0$, $-dfh+fdh=0$ e $efg-feg=0$ dunque $0+0+0=0$ e così per qualsiasi riga (colonna) si scelga! Ciao

[Deb12]

Grazie mille per la spiegazione

[cirasa]

"Alexp":La dimostrazione è abbastanza immediata....

Sia $A$ la matrice $|(a,b,c),(d,e,f),(g,h,i)|$, allora per il secondo th di Laplace (scegliendo ad esempio di moltiplicare gli elementi della seconda, per i complementi della prima) si ottiene:

$d|(e,f),(h,i)|-e|(d,f),(g,i)|+f|(d,e),(g,h)|=dei-dfh-edi+efg+fdh-feg=0$

infatti per la proprietà commutativa della moltiplicazione si ha:

$dei-edi=0$, $-dfh+fdh=0$ e $efg-feg=0$ dunque $0+0+0=0$ e così per qualsiasi riga (colonna) si scelga! Ciao

Si può fare una dimostrazione più generale della tua per ogni matrice quadrata di ordine qualsiasi.
Infatti, moltiplicare gli elementi di una riga per i complementi degli elementi di un'altra riga equivale (dal teorema di Laplace per il calcolo del determinante) a calcolare il determinante di una matrice quadrata con due righe uguali. Quindi il risultato deve essere zero.