SD equivalenza
Buongiorno,
volevo chiedere il vostro aiuto in merito alla SD equivalenza fra matrici. Per definizione due matrici$ A$ e $B$ si dicono SD equivalenti se esistono 2 matrici invertibili $M$ e $N $tali che $A=MBN$. Siamo riusciti a dimostrare che il rango è un invariante completo di SD equivalenza e che praticamente le matrici$ A$ e $B$ sono le matrici associate alla stessa applicazione lineare in basi diverse. Dal punto di vista teorico, mi torna tutto, il problema è: date due matrici con stesso rango, come faccio a trovare $M$ e $N$? Abbiamo detto che possiamo pensare a $M$ e a $N$ come matrici di cambiamento di base, ma come le trovo, e come trovo le basi in partenza e arrivo per cui $A$ e $B$ rappresenterebbero la stessa applicazione lineare? Un esempio pratico: date due matrici $A$ e $B$:
$$A=\left(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right)$$ e $$B=\left(\begin{matrix} 4 & 5 \\ 2 & 3 \end{matrix}\right)$$
come trovo due matrici invertibili $M$ e $N$ tali che $A=MBN$? E come trovo delle basi per cui riesco a mostrare che $A$ e $B$ sono la stessa applicazione lineare in basi diverse?
volevo chiedere il vostro aiuto in merito alla SD equivalenza fra matrici. Per definizione due matrici$ A$ e $B$ si dicono SD equivalenti se esistono 2 matrici invertibili $M$ e $N $tali che $A=MBN$. Siamo riusciti a dimostrare che il rango è un invariante completo di SD equivalenza e che praticamente le matrici$ A$ e $B$ sono le matrici associate alla stessa applicazione lineare in basi diverse. Dal punto di vista teorico, mi torna tutto, il problema è: date due matrici con stesso rango, come faccio a trovare $M$ e $N$? Abbiamo detto che possiamo pensare a $M$ e a $N$ come matrici di cambiamento di base, ma come le trovo, e come trovo le basi in partenza e arrivo per cui $A$ e $B$ rappresenterebbero la stessa applicazione lineare? Un esempio pratico: date due matrici $A$ e $B$:
$$A=\left(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right)$$ e $$B=\left(\begin{matrix} 4 & 5 \\ 2 & 3 \end{matrix}\right)$$
come trovo due matrici invertibili $M$ e $N$ tali che $A=MBN$? E come trovo delle basi per cui riesco a mostrare che $A$ e $B$ sono la stessa applicazione lineare in basi diverse?
Risposte
Fai la riduzione a scalini di entrambe per portarle alla matrice identità $I$ (o alla matrice $((1,0),(0,0))$ se il rango fosse 1). Per $A$ fai una riduzione per colonne, per $B$ una riduzione per righe. Ogni operazione elementare (scambio di righe/colonne, moltiplicazione di una riga/colonna per una costante, somma di una riga/colonna a un multiplo di un'altra) è decodificata nel fare il prodotto a sinistra/destra per una matrice (matrice elementare corrispondente). Quindi una volta finita la riduzione avrai una serie di matrici moltiplicate a sinistra/destra. Fai il loro prodotto nell'ordine scritto ottenendo due nuove matrici, $E$ e $F$, tali che $AE=I$ e $FB=I$, da cui $AE=I=FB$ quindi $A=FBE^{-1}$.
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