Scrivere un sistema lineare data una soluzione
Salve, ho un problema riguardante un esercizio che mi chiede di scrivere un sistema lineare di 2 equazioni a 3 incognite che abbia tra le sue soluzioni il vettore (1, -1, 7) e di determinare tramite il metodo di Gauss se ha una o più soluzioni.
Ora, stando alle informazioni dell'esercizio, ci sarà sicuramente un parametro, visto che il numero di equazioni è più piccolo del numero delle incognite, ma non riesco a venirne a capo, non so come scrivere un sistema del genere perché non ho mai trovato un esercizio simile prima d'ora.
Il problema sta proprio nello scrivere il sistema... dovrebbe essere una cosa del tipo
x1 + x2 = 1t
x1 + x2 = -1t
x3 = 7t ?
Non mi viene altro in mente... inoltre facendo così mi verrebbe che la matrice incompleta ha rango 2 e quella completa ha rango 3, quindi sarebbe un sistema senza soluzioni, il che mi fa pensare di aver scritto una fesseria! Grazie in anticipo per l'eventuale risposta
Ora, stando alle informazioni dell'esercizio, ci sarà sicuramente un parametro, visto che il numero di equazioni è più piccolo del numero delle incognite, ma non riesco a venirne a capo, non so come scrivere un sistema del genere perché non ho mai trovato un esercizio simile prima d'ora.
Il problema sta proprio nello scrivere il sistema... dovrebbe essere una cosa del tipo
x1 + x2 = 1t
x1 + x2 = -1t
x3 = 7t ?
Non mi viene altro in mente... inoltre facendo così mi verrebbe che la matrice incompleta ha rango 2 e quella completa ha rango 3, quindi sarebbe un sistema senza soluzioni, il che mi fa pensare di aver scritto una fesseria! Grazie in anticipo per l'eventuale risposta
Risposte
"Megaboh":
Il problema sta proprio nello scrivere il sistema... dovrebbe essere una cosa del tipo
x1 + x2 = 1t
x1 + x2 = -1t
x3 = 7t ?
Hai detto tu stesso che il sistema deve essere formato da 2 equazioni
Prova a porre [tex]x_1[/tex] come parametro, così è più semplice
Ciao, prima di tutto grazie per la risposta! Comunque, se ponessi x1 come parametro, visto che il sistema deve essere composto da due equazioni, verrebbe così?
x1 = 1t
1t + x2 + x3 = -1t + 7t
Sennò non saprei come altro scriverlo...
x1 = 1t
1t + x2 + x3 = -1t + 7t
Sennò non saprei come altro scriverlo...
Guarda, ti stai perdendo in un bicchiere d'acqua
Vuoi davvero farmi credere che non sei capace di scrivere due equazioni con tre incognite $x_1,x_2,x_3$ che abbiano come soluzione ${(x_1=1),(x_2=-1),(x_3=7):}$?
Se io ti chiedessi: "Ponimi un problema che abbia come soluzione $3$", tu cosa mi diresti?
Non è tanto diverso
Vuoi davvero farmi credere che non sei capace di scrivere due equazioni con tre incognite $x_1,x_2,x_3$ che abbiano come soluzione ${(x_1=1),(x_2=-1),(x_3=7):}$?
Se io ti chiedessi: "Ponimi un problema che abbia come soluzione $3$", tu cosa mi diresti?
Non è tanto diverso
Bè, se fossi capace di scriverlo non credo che avrei perso tempo a scrivere un post sul forum, no?
Purtroppo essendoci dei parametri non so come impostarlo, so che c'è qualcosa che mi sfugge...se sono qui è per capire come si fa, non per tutti sono banali certe cose(almeno inizialmente).
Comunque, se ponessi x1 = 1, potrei scrivere il sistema così?
x1 = 1
x2 + x3 + 1 = 7
O è ancora sbagliato? Però in questo caso mi troverei con i valori delle x...
Purtroppo essendoci dei parametri non so come impostarlo, so che c'è qualcosa che mi sfugge...se sono qui è per capire come si fa, non per tutti sono banali certe cose(almeno inizialmente).
Comunque, se ponessi x1 = 1, potrei scrivere il sistema così?
x1 = 1
x2 + x3 + 1 = 7
O è ancora sbagliato? Però in questo caso mi troverei con i valori delle x...
Il caso più semplice è questo: $ { ( x_2=-1 ),( x_3=7):} $
quindi dato che l' incognita [tex]x_1[/tex] non compare nelle equazioni, la poni come parametro ok?
quindi dato che l' incognita [tex]x_1[/tex] non compare nelle equazioni, la poni come parametro ok?
Scusa, però io ancora non ho capito come fare a scrivere il sistema parametrico... devo impostare t in modo che sia uguale a 1 tipo -6t -1 +7 = 0 ? Oppure devo scrivere un sistema del tipo t - 1 + 7 = 0 ?
Aggiornamento:
per parametrizzare x2, posso fare
x1 = -x2
-x2 + x2 + x3 = 7 ?
Così verrebbe X1 = -x2 / x3 = 7 ?
Aggiornamento:
per parametrizzare x2, posso fare
x1 = -x2
-x2 + x2 + x3 = 7 ?
Così verrebbe X1 = -x2 / x3 = 7 ?
Allora, il tuo obiettivo è quello di ottenere, tra le soluzioni del sistema, la tripla [tex](1,-1,7)[/tex].
Si pone un' incognita come parametro quando il numero di equazioni è minore del numero di incognite
del sistema in questione. Fin qui mi segui no?
Quindi nelle due equazioni del sistema non devi mettere nessun parametro, devi fare in modo che
le soluzioni siano di un certo tipo, tale che sostituendo il parametro con un oppurtuno valore reale
si ottenga la tripla [tex](1,-1,7)[/tex].
Esempio :
se le soluzioni sono del tipo:
[tex](-t,t,7)[/tex] dove [tex]t \in \mathbb{R}[/tex] è il parametro, ponendo [tex]t=-1[/tex] ottieni la tripla desiderata.
Si pone un' incognita come parametro quando il numero di equazioni è minore del numero di incognite
del sistema in questione. Fin qui mi segui no?
Quindi nelle due equazioni del sistema non devi mettere nessun parametro, devi fare in modo che
le soluzioni siano di un certo tipo, tale che sostituendo il parametro con un oppurtuno valore reale
si ottenga la tripla [tex](1,-1,7)[/tex].
Esempio :
se le soluzioni sono del tipo:
[tex](-t,t,7)[/tex] dove [tex]t \in \mathbb{R}[/tex] è il parametro, ponendo [tex]t=-1[/tex] ottieni la tripla desiderata.
Quindi non è come ho scritto io prima?
Cioè, mi spiego, se faccio
$ x1 + x 2 = 0
$ x1 + x2 + x3 = 7
E poi pongo che x1 = -t
$x1 = -t
$ -t + t + x3 = 7
viene la soluzione che mi hai scritto tu, no? È corretto quello che ho scritto?
Cioè, mi spiego, se faccio
$ x1 + x 2 = 0
$ x1 + x2 + x3 = 7
E poi pongo che x1 = -t
$x1 = -t
$ -t + t + x3 = 7
viene la soluzione che mi hai scritto tu, no? È corretto quello che ho scritto?
"Megaboh":
$ x1 + x 2 = 0
$ x1 + x2 + x3 = 7
Si, vanno bene queste due equazioni, e anche il resto del ragionamento è corretto.
Però devi sapere che non sono le uniche equazioni che ti permettono di avere quella tripla come una delle soluzioni, ok?
ps: ti consiglio di imparare ad usare le formule, per migliorare la leggibilità
Mmh, sì, scusa, ho provato usando il simbolo del dollaro come era suggerito nel box qua sotto, però ovviamente non è un granché...
Comunque sì, ho capito il ragionamento, avrei potuto parametrizzare una qualunque delle incognite; la mia difficoltà stava nel capire come impostare il sistema
Poi mi chiede di determinare con Gauss se ha una o più soluzioni...intende dire che devo fare la riduzione a gradini della matrice(completa e poi incompleta)? Se fosse così, il rango di entrambe le matrici sarebbe due, quindi il sistema ammette almeno una soluzione. Però essendo 3 incognite, n > rk, quindi il sistema ammette infinite soluzioni a un parametro. È giusto così, no? Grazie mille per la disponibilità
Comunque sì, ho capito il ragionamento, avrei potuto parametrizzare una qualunque delle incognite; la mia difficoltà stava nel capire come impostare il sistema
Poi mi chiede di determinare con Gauss se ha una o più soluzioni...intende dire che devo fare la riduzione a gradini della matrice(completa e poi incompleta)? Se fosse così, il rango di entrambe le matrici sarebbe due, quindi il sistema ammette almeno una soluzione. Però essendo 3 incognite, n > rk, quindi il sistema ammette infinite soluzioni a un parametro. È giusto così, no? Grazie mille per la disponibilità
Solo alla matrice completa si applica il metodo di Gauss, comunque si è giusto che sia il rango della matrice completa
che il rango di quella incompleta vale 2.
Per la precisione sono [tex]\infty^1[/tex] le soluzioni.
che il rango di quella incompleta vale 2.
Per la precisione sono [tex]\infty^1[/tex] le soluzioni.
OK, ti ringrazio moltissimo per i chiarimenti e la disponibilità
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