Scrivere equazioni di un sottospazio nella base naturale!
Salve a tutti, è Domenica ma avrei bisogno di un piccolo aiuto...
Avranno fatto mille volte questa domanda e io per mille volte non ho capito bene le risposte...sarò ignorante!
Ho questo esercizio:
Si considera il sottospazio di $RR^4$:
\(\displaystyle U = [(1,1,0,0),(0,-2,0,0),(2,0,0,0),(3,-1,0,1)] \)
Scrivere le equazioni di \(\displaystyle U \) nella base naturale di $RR^4$.
Per piacere spiegatemi come risolvere questi tipi di esercizi. Non so proprio da dove iniziare.
Penso che base naturale o base canonica sia la stessa cosa!! 
Avranno fatto mille volte questa domanda e io per mille volte non ho capito bene le risposte...sarò ignorante!
Ho questo esercizio:
Si considera il sottospazio di $RR^4$:
\(\displaystyle U = [(1,1,0,0),(0,-2,0,0),(2,0,0,0),(3,-1,0,1)] \)
Scrivere le equazioni di \(\displaystyle U \) nella base naturale di $RR^4$.
Per piacere spiegatemi come risolvere questi tipi di esercizi. Non so proprio da dove iniziare.
Penso che base naturale o base canonica sia la stessa cosa!!
Risposte
Ciao,
tu hai i seguenti vettori:
\[
\begin{bmatrix}
1\\1\\0\\0
\end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix}
0\\-2\\0\\0
\end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix}
2\\0\\0\\0
\end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix}
3\\-1\\0\\1
\end{bmatrix}
\] Affianchiamoli in una matrice ed aggiungiamo il generico vettore \(\begin{bmatrix}x&y&z&t\end{bmatrix}^T\)
\[
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1&0&2&3&x\\1&-2&0&-1&y\\0&0&0&0&z\\0&0&0&1&t
\end{array}
\right]
\]
Quello che vogliamo è che l'ultima colonna sia linearmente dipendente dalle prime quattro. Applichiamo la riduzione di Gauss:
\[
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1&0&2&3&x\\0&-2&-2&-4&y-x\\0&0&0&0&z\\0&0&0&1&t
\end{array}
\right]
\] A questo punto la matrice "incompleta" ha rango $3$ e vogliamo che anche la completa abbia rango $3$. Notiamo che il terzo pivot della "incompleta" è nullo, quindi imponiamo $z=0$. Questa è la nostra equazione. In generale, dobbiamo annullare i termini nel vettore di destra che corrispondono a righe tutte nulle della matrice di sinistra.
tu hai i seguenti vettori:
\[
\begin{bmatrix}
1\\1\\0\\0
\end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix}
0\\-2\\0\\0
\end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix}
2\\0\\0\\0
\end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix}
3\\-1\\0\\1
\end{bmatrix}
\] Affianchiamoli in una matrice ed aggiungiamo il generico vettore \(\begin{bmatrix}x&y&z&t\end{bmatrix}^T\)
\[
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1&0&2&3&x\\1&-2&0&-1&y\\0&0&0&0&z\\0&0&0&1&t
\end{array}
\right]
\]
Quello che vogliamo è che l'ultima colonna sia linearmente dipendente dalle prime quattro. Applichiamo la riduzione di Gauss:
\[
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1&0&2&3&x\\0&-2&-2&-4&y-x\\0&0&0&0&z\\0&0&0&1&t
\end{array}
\right]
\] A questo punto la matrice "incompleta" ha rango $3$ e vogliamo che anche la completa abbia rango $3$. Notiamo che il terzo pivot della "incompleta" è nullo, quindi imponiamo $z=0$. Questa è la nostra equazione. In generale, dobbiamo annullare i termini nel vettore di destra che corrispondono a righe tutte nulle della matrice di sinistra.
Quindi dovrei scrivere così:
\(\displaystyle U = \) { \(\displaystyle (x,y,z,t) \) $in$ $RR^4$ \(\displaystyle : z = 0 \) }
\(\displaystyle U = \) { \(\displaystyle (x,y,z,t) \) $in$ $RR^4$ \(\displaystyle : z = 0 \) }
Esatto. Cos'è che non ti torna? 
Il tuo sottospazio è formato da tutti i vettori di $RR^4$ che hanno la terza coordinata nulla. Le altre coordinate possono fare quello che vogliono.
Il tuo sottospazio è formato da tutti i vettori di $RR^4$ che hanno la terza coordinata nulla. Le altre coordinate possono fare quello che vogliono.
Ottimo. Ora tutto torna 
Grazie mille minomic
Grazie mille minomic
Prego! Per altri dubbi... siamo qui!
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