Scelta dei parametri liberi

[squalllionheart]

Salve ho un quesito flash, una volta stabilito se il sistema è compatibile o meno, e capito quante soluzioni distinte ha il sistema grazie al teorema della dimensione, mi spiegate il parametro libero attraverso quale criterio viene scelto.
Gli appunti che sto utilizzado dicono:
"L'incognita corrispondente alla colonna non usata nella nel calcolo del determinante diventa il parametro libero" ma quanto affermato mi è abbastanza oscuro;)
Grazie a presto;)

[dissonance]

"squalllionheart":Gli appunti che sto utilizzado dicono:
"L'incognita corrispondente alla colonna non usata nella nel calcolo del determinante diventa il parametro libero"

Ma a che metodo si riferiscono? Probabilmente parlano del metodo di Cramer modificato per sistemi con matrice non quadrata o singolare. Giusto? Da un punto di vista teorico i parametri vengono scelti in base al metodo di risoluzione usato.

Comunque, nel risolvere a mano sistemi piccoli i parametri liberi io li scelgo a occhio, prendendo quelli che rendono la soluzione più semplice. In generale non ce ne sono di più belli degli altri, basta che siano in numero sufficiente! L'importante infatti è il teorema della dimensione: i parametri liberi devono essere tanti quanto la dimensione dello spazio delle soluzioni, ovvero: (il numero di incognite) - (il rango della matrice dei coefficienti).
[edit] questa è una fesseria, vedi il post qui sotto.

[squalllionheart]

ok, allora ci sono.Grazie fantastico;)

[dissonance]

Certo Sergio hai perfettamente ragione. In quel sistema la $t$ deve necessariamente assumere il valore $-1/2$. Prenderla come parametro porta solo alle complicazioni che dici. sorry!

[squalllionheart]

wow grande discussione;)
Chiaro grazie, è proprio vero che la discussione è il modo migliore di imparare. Alle volte anche i grandi libri non bastano;)Grazie a tutti per la disponibilità

[dissonance]

In effetti questo è un tasto su cui forse si batte poco (sono andato a scartabellare su qualche libro).
Comunque è interessante adesso dare una dimostrazione teorica del risultato a cui si riferisce Sergio. Correggetemi se sbaglio:

Scegliamo un minore (nel senso di sottomatrice) di rango massimo per scegliere alcune colonne che generano linearmente tutte le altre. Quindi queste colonne non le toccheremo, e invece andremo a "portare dall'altra parte" del segno di uguaglianza le altre. Tutto filerà liscio perché tanto le colonne "fissate" sono in grado di generare le altre e quindi di risolvere il sistema. (Naturalmente sto supponendo che ci siano più colonne che righe, come nell'esempio precedente.
Se ci sono più righe che colonne, ci riconduciamo al caso precedente scartando alcune righe linearmente dipendenti dalle altre.)

Una dimostrazione un po' spartana, ma grosso modo dovrebbe essere così. Che ne pensate?

[squalllionheart]

C'è una domanda... allora perso come asserto la traduzione della frase confusa del mio testo
"diventano parametri liberi le incognite corrispondenti a colonne non usate nel calcolo del minore sulla cui base si era determinato il rango della matrice dei coefficienti"
Allora il mionre è arbitrario invece l''incognita no, nel senso che gia in una mtratrice 3X4 si hanno almeno due minori diversi, quindi le possibili colonne che potrebbero diventare il paramtro libero sono due.
Forse ho capito male io.
Possiamo fare un esempio con una matrice 3x4 che abbia tutti i minori diversi da zero, in questo caso ci devo perndere come parametro libero?

[dissonance]

"squalllionheart":una matrice 3x4 che abbia tutti i minori diversi da zero, in questo caso chi devo prendere come parametro libero?

In questo caso, secondo me, va bene un'incognita qualunque. Prova con $((1,0,0,1),(0,1,0,1),(0,0,1,1))$. I minori di ordine 3 sono tutti non nulli, perché le prime tre colonne sono lin. indip., e la terza non è generata da nessuna scelta delle due precedenti. Il sistema omogeneo associato è $((1,0,0,1),(0,1,0,1),(0,0,1,1))((x),(y),(z),(t))=((0),(0),(0))$ ovvero ${(x+t=0),(y+t=0),(z+t=0):}$. Se come parametro prendi $t$ risolvi subito. Se prendi $x$ ricavi $t=-x$ e sostituendo nelle altre equazioni riesci a risolvere. Con $y$ o $z$ è lo stesso.

Giusto per scrupolo, verifichiamo le soluzioni:
Prendendo come parametro $t$ ottieni come soluzione ${(-t,-t,-t,t)\ |\ t\inK}$. Prendendo $x$ ottieni ${(x,x,x,-x)\ |\ x\inK}$ che è chiaramente la stessa cosa e così con le altre due incognite. In conclusione, andava bene un'incognita qualunque.

[squalllionheart]

Il problema quindi me lo devo porre solo quando ci sono minori che si annullano, in quel caso prendo come variabile libera la colonna che non considero quando trovo il minore non nullo che mi permetterà di affermare che il rango ha un certo valore.
Grazie ancora;)