Scelta dei metodi risolutivi per sistemi di EQZ parametrici
Buongiorno, vorrei chiedervi chiarimenti in merito ad un dubbio che mi è apparso mentre sviluppavo un esercizio.
Sia un sistema lineare omogeneo:
\( \begin{cases} x_1-2x_2-5x_3=0 \\ 3x_1+7x_2-x_3=0 \\ \end{cases} \)
Il sistema è certamente compatibile perché ammette sicuramente la soluzione banale (0,0,0).
Mi sembra di avere due modi per determinarlo:
1. Considerando la compatibilità certa, vorrà dire che il rango dalla matrice completa sarà uguale al rango della matrice incompleta. A questo punto calcolo in rango della matrice incompleta $rank(A')$.
Considero il minore \( M_2\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 7 \end{vmatrix} = 13\neq 0 \)
Non è possibile calcolare gli orlati, il rango della matrice è 2.
Poichè $p
\( \begin{cases} x_1-2x_2-5x_3=0 \\ 3x_1+7x_2-x_3=0 \end{cases} \)
Considero l'incognita x_n che non è coinvolta nel minore $M_2$, nel mio caso $x_3$ eguagliandolo al parametro h
$x_3=h$
Riscrivo il sistema, portando all'altro membro il parametro h:
\( \begin{cases} x_1-2x_2=5h \\ 3x_1+7x_2=h \end{cases} \)
Questo è certamente un sistema di Cramer, se calcolassi il rango sarebbe 2 e corrisponderebbe al numero di incognite.
Risolvendo tale sistema, otterrò le soluzioni $x_1= 37/13h , x_2=-14/13h$
In teoria, le soluzioni di tale sistema sono formate dalla terna ordinata $(h,37/13h,-14/13h)$ al variare di h in $R$
Ora, se sostituisco i valori trovati alle incognite, assegnando un valore arbitrario al parametro h, sarà soddisfatta l'identità.
\( \begin{cases} \frac{37}{13}-2(\frac{-14}{13})-5=0 \\ 3(\frac{37}{13})+7(\frac{-14}{13})-1=0 \end{cases} \begin{cases} 0=0 \\ 0=0 \end{cases} \)
2.Poichè $rank(A') = m$ dove m risulta essere il numero di equazioni;
Poichè è un sistema avente m equazioni in m+1 incognite;
Posso utilizzare tale procedimento:
Prendo la matrice dei coefficienti (A')
\( \begin{pmatrix} 1 & -2 & -5 \\ 3 & 7 & -1 \end{pmatrix} \)
Estraggo i minori, sopprimendo in ordine le colonne:
\( M_1\begin{vmatrix} -2 & -5 \\ 7 & -1 \end{vmatrix}, M_2 \begin{vmatrix} 1 & -5 \\ 3 & -1 \end{vmatrix}, M_3 \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 7 \end{vmatrix} \)
Una volta estratti li considero con segni alterni ovvero $+M_1,-M_2+,M_3$ ottenendo $(37,-14,13)$ possiamo asserire questa terna ordinata è certamente una soluzione non banale del sistema. Tutte le combinazioni lineari, al variare di h € R del tipo (37h,-14h,13h) saranno tutte le soluzioni non banali del sistema.
Ecco, vorrei capire quando utilizzare il primo metodo e quando il secondo? Ci sono casi particolari?
Vi ringrazio.
Sia un sistema lineare omogeneo:
\( \begin{cases} x_1-2x_2-5x_3=0 \\ 3x_1+7x_2-x_3=0 \\ \end{cases} \)
Il sistema è certamente compatibile perché ammette sicuramente la soluzione banale (0,0,0).
Mi sembra di avere due modi per determinarlo:
1. Considerando la compatibilità certa, vorrà dire che il rango dalla matrice completa sarà uguale al rango della matrice incompleta. A questo punto calcolo in rango della matrice incompleta $rank(A')$.
Considero il minore \( M_2\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 7 \end{vmatrix} = 13\neq 0 \)
Non è possibile calcolare gli orlati, il rango della matrice è 2.
Poichè $p
\( \begin{cases} x_1-2x_2-5x_3=0 \\ 3x_1+7x_2-x_3=0 \end{cases} \)
Considero l'incognita x_n che non è coinvolta nel minore $M_2$, nel mio caso $x_3$ eguagliandolo al parametro h
$x_3=h$
Riscrivo il sistema, portando all'altro membro il parametro h:
\( \begin{cases} x_1-2x_2=5h \\ 3x_1+7x_2=h \end{cases} \)
Questo è certamente un sistema di Cramer, se calcolassi il rango sarebbe 2 e corrisponderebbe al numero di incognite.
Risolvendo tale sistema, otterrò le soluzioni $x_1= 37/13h , x_2=-14/13h$
In teoria, le soluzioni di tale sistema sono formate dalla terna ordinata $(h,37/13h,-14/13h)$ al variare di h in $R$
Ora, se sostituisco i valori trovati alle incognite, assegnando un valore arbitrario al parametro h, sarà soddisfatta l'identità.
\( \begin{cases} \frac{37}{13}-2(\frac{-14}{13})-5=0 \\ 3(\frac{37}{13})+7(\frac{-14}{13})-1=0 \end{cases} \begin{cases} 0=0 \\ 0=0 \end{cases} \)
2.Poichè $rank(A') = m$ dove m risulta essere il numero di equazioni;
Poichè è un sistema avente m equazioni in m+1 incognite;
Posso utilizzare tale procedimento:
Prendo la matrice dei coefficienti (A')
\( \begin{pmatrix} 1 & -2 & -5 \\ 3 & 7 & -1 \end{pmatrix} \)
Estraggo i minori, sopprimendo in ordine le colonne:
\( M_1\begin{vmatrix} -2 & -5 \\ 7 & -1 \end{vmatrix}, M_2 \begin{vmatrix} 1 & -5 \\ 3 & -1 \end{vmatrix}, M_3 \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 7 \end{vmatrix} \)
Una volta estratti li considero con segni alterni ovvero $+M_1,-M_2+,M_3$ ottenendo $(37,-14,13)$ possiamo asserire questa terna ordinata è certamente una soluzione non banale del sistema. Tutte le combinazioni lineari, al variare di h € R del tipo (37h,-14h,13h) saranno tutte le soluzioni non banali del sistema.
Ecco, vorrei capire quando utilizzare il primo metodo e quando il secondo? Ci sono casi particolari?
Vi ringrazio.
Risposte
Prima di qualsiasi cosa: stai facendo i sistemi lineari, oppure proprio studi algebra lineare?
@pritt,
quanto lo credi tu piú opportuno, ne esistono tanto altri di metodi.. ma tutti sono interscambiabili tra loro, magari qualcuno è piú veloce dell altro ma il risultato è lo stesso! Con la pratica poi noti quale meglio usare a seconda del contesto... io di solito ne uso solo uno ma perché testardo ad infilare Cramer ovunque e pesantemente anche se so che i calcoli diventano lunghi in certi casi..
[ot]ricordo un'immagine recente mandatami in un gruppo whatsapp:
[/ot]
quanto lo credi tu piú opportuno, ne esistono tanto altri di metodi.. ma tutti sono interscambiabili tra loro, magari qualcuno è piú veloce dell altro ma il risultato è lo stesso! Con la pratica poi noti quale meglio usare a seconda del contesto... io di solito ne uso solo uno ma perché testardo ad infilare Cramer ovunque e pesantemente anche se so che i calcoli diventano lunghi in certi casi..
[ot]ricordo un'immagine recente mandatami in un gruppo whatsapp:
[/ot]
"anto_zoolander":
Prima di qualsiasi cosa: stai facendo i sistemi lineari, oppure proprio studi algebra lineare?
Studio Ingegneria, ma ho il mio bel modulo di algebra lineare
"garnak.olegovitc":
@pritt,
quanto lo credi tu piú opportuno, ne esistono tanto altri di metodi.. ma tutti sono interscambiabili tra loro, magari qualcuno è piú veloce dell altro ma il risultato è lo stesso! Con la pratica poi noti quale meglio usare a seconda del contesto... io di solito ne uso solo uno ma perché testardo ad infilare Cramer ovunque e pesantemente anche se so che i calcoli diventano lunghi in certi casi..
[ot]ricordo un'immagine recente mandatami in un gruppo whatsapp:
Benissimo, ho capito, grazie mille
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