Rotazione di vettori
Ho due versori applicati nello spazio tridimensionale e mi chiedo se è possibile ottenere il secondo come rotazione attorno ad una retta.
La domanda quindi è se esiste sempre ed è possibile calcolarla e, nel caso esista, se è unica.
Se non dovesse essere unica potrei aggiungere l'ipotesi di avere un numero maggiore di versori che so essere ottenuti con rotazioni attorno ad una stessa retta, ma di angoli differenti: quanti versori mi servono al meno per poter determinare in modo univoco l'asse di rotazione?
Intuitivamente mi vien da dire che 3 dovrebbero essere sufficienti, ma ci sto lavorando sopra con Cabri 3D e finora non ho trovato nulla di certo.
Spero di essere riuscito a spiegarmi.
Grazie
La domanda quindi è se esiste sempre ed è possibile calcolarla e, nel caso esista, se è unica.
Se non dovesse essere unica potrei aggiungere l'ipotesi di avere un numero maggiore di versori che so essere ottenuti con rotazioni attorno ad una stessa retta, ma di angoli differenti: quanti versori mi servono al meno per poter determinare in modo univoco l'asse di rotazione?
Intuitivamente mi vien da dire che 3 dovrebbero essere sufficienti, ma ci sto lavorando sopra con Cabri 3D e finora non ho trovato nulla di certo.
Spero di essere riuscito a spiegarmi.
Grazie
Risposte
Per trovare la direzione della retta è sufficiente fare il prodotto vettoriale tra i due e la retta è unica. Si tratta infatti dell'unica retta perpendicolare al piano generato dai due vettori.
Non sono d'accordo con il fatto che la retta sia unica.
Prendiamo ad esempio i versori canonici di $RR^3$.
Se [tex]\vec{i}[/tex] e [tex]\vec{j}[/tex] sono i versori relativi risp. all'asse [tex]x[/tex] e all'asse [tex]y[/tex] applicati nell'origine, una rotazione che manda [tex]\vec{i}[/tex] in [tex]\vec{j}[/tex] è quella di [tex]\pi/2[/tex] attorno all'asse [tex]z[/tex].
Ma ce n'è un'altra, come per esempio la rotazione di [tex]\pi[/tex] attorno alla retta per [tex]O[/tex] con vettore direttore [tex]\vec{i}+\vec{j}[/tex].
Prendiamo ad esempio i versori canonici di $RR^3$.
Se [tex]\vec{i}[/tex] e [tex]\vec{j}[/tex] sono i versori relativi risp. all'asse [tex]x[/tex] e all'asse [tex]y[/tex] applicati nell'origine, una rotazione che manda [tex]\vec{i}[/tex] in [tex]\vec{j}[/tex] è quella di [tex]\pi/2[/tex] attorno all'asse [tex]z[/tex].
Ma ce n'è un'altra, come per esempio la rotazione di [tex]\pi[/tex] attorno alla retta per [tex]O[/tex] con vettore direttore [tex]\vec{i}+\vec{j}[/tex].
Sì, hai ragione.. dimentica il discorso sull'unicità.
Intanto grazie.
Alcune precisazioni: i due vettori sono applicati in punti diversi e pertanto non è detto che siano complanari.
nel caso che siano applicati ad uno stesso punto, credo che qualunque retta appartenente al piano bisettore e passante dallo stesso punto sia buona come asse di rotazione.
Ma il mio caso è un po' più complesso.
Alcune precisazioni: i due vettori sono applicati in punti diversi e pertanto non è detto che siano complanari.
nel caso che siano applicati ad uno stesso punto, credo che qualunque retta appartenente al piano bisettore e passante dallo stesso punto sia buona come asse di rotazione.
Ma il mio caso è un po' più complesso.
Secondo me, con due versori applicati $(A,v)$ e $(B,w)$ non complanari funziona ma con più di due no.
Denoto con $P$ e $Q$ il secondo estremo del vettore applicato $(A,v)$ e $(B,w)$ risp.
Innanzitutto osserviamo che una rotazione attorno ad una retta $r$ che porta un punto $P$ in $Q$ è tale che $d(P,r)=d(Q,r)$ ($d$ è la distanza).
Quindi un'ipotetica retta che porta $(A,v)$ in $(B,w)$ è contenuta nel piano $alpha$ equidistante da $A$ e da $B$ e nel piano $beta$ equidistante da $P$ e da $Q$.
Quindi l'unica retta possibile è $r=alpha\cap beta$.
Ora resta da calcolare l'angolo di rotazione. Secondo me (ma su questo dovrei pensarci meglio), per entrambe le coppie di punti l'angolo è di $pi$.
Pertanto la retta esiste ed è unica nel caso di versori non complanari.*
Ho provato a verificarlo con $(O,i)$ e $(A,j)$, con $O=(0,0,0)$, $A=(0,0,1)$ e $i,j$ versori dell'asse $x,y$ risp. e, a meno di miei probabilissimi errori di conto, funziona.
Con più di due versori a coppie non complanari, secondo me, la cosa non funziona più perchè le rette costruite per ogni coppia potrebbero non coincidere...
Che ne pensate?
* P.S. Attenzione, questa è una scemenza.
Denoto con $P$ e $Q$ il secondo estremo del vettore applicato $(A,v)$ e $(B,w)$ risp.
Innanzitutto osserviamo che una rotazione attorno ad una retta $r$ che porta un punto $P$ in $Q$ è tale che $d(P,r)=d(Q,r)$ ($d$ è la distanza).
Quindi un'ipotetica retta che porta $(A,v)$ in $(B,w)$ è contenuta nel piano $alpha$ equidistante da $A$ e da $B$ e nel piano $beta$ equidistante da $P$ e da $Q$.
Quindi l'unica retta possibile è $r=alpha\cap beta$.
Ora resta da calcolare l'angolo di rotazione. Secondo me (ma su questo dovrei pensarci meglio), per entrambe le coppie di punti l'angolo è di $pi$.
Pertanto la retta esiste ed è unica nel caso di versori non complanari.*
Ho provato a verificarlo con $(O,i)$ e $(A,j)$, con $O=(0,0,0)$, $A=(0,0,1)$ e $i,j$ versori dell'asse $x,y$ risp. e, a meno di miei probabilissimi errori di conto, funziona.
Con più di due versori a coppie non complanari, secondo me, la cosa non funziona più perchè le rette costruite per ogni coppia potrebbero non coincidere...
Che ne pensate?
* P.S. Attenzione, questa è una scemenza.
P.S. Vorrei essere più preciso: la rotazione attorno ad una retta $r$ che porta $P$ in $Q$ è tale che $d(P,r)$ e $d(Q,r)$ ed è tale che $r$ è ortogonale alla retta $[P,Q]$. Pertanto è contenuta nel piano equidistante da $P$ e da $Q$.
Scusate, torno a bomba sul problema per dire che forse ho sbagliato. Il problema è l'angolo di rotazione che in generale è diverso per le due coppie di punti e quindi la rotazione attorno alla retta che abbiamo determinato prima porta il primo estremo del primo vettore applicato nel primo estremo del secondo, ma non il secondo nel secondo.
Questo nel caso generale. Nel caso di vettori applicati complanari (ovvero i quattro estremi contenuti nello stesso piano), allora esiste la rotazione cercata!
Questo nel caso generale. Nel caso di vettori applicati complanari (ovvero i quattro estremi contenuti nello stesso piano), allora esiste la rotazione cercata!
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