Risoluzione sistema studio del nucleo (parametro si annulla)

[m45511]

Salve ragazzi ho dei problema con la risoluzione dei sistemma lineare:

${ ( x+y+z=0 ),( y+z=0 ),( x=0 ):}$

questo sisetma è generato dallo studio del nucleo di una applicazione lineare.
Comunque non riesco a risolverlo, impongo x come parametro ma in questo modo si annulla la z:

${ ( y=-t ),( -z-t+z=0 ),( x=t ):}$

Come mai si annulla il parametro?
Le soluzioni sono:
$(0,-t,t)$

Grazie per l'aiuto.

[cirasa]

In questo caso (sistema con $\infty^1$ soluzioni, quindi un parametro $t$) devi trovare $x,y,z$ in funzione di $t$.
Se $x=0$, $x$ l'hai già trovato, non serve scrivere $x$ in funzione del parametro $t$.
Imponi $y$ come parametro.

[m45511]

cirasa come faccio a stabilire che sia y il parametro e non z?

[cirasa]

Come puoi facilmente osservare, se prendi $z$ è la stessa cosa.
La matrice dei coefficienti del sistema omogeneo è
$((1,1,1),(0,1,1),(1,0,0))$
il cui rango è $2$.
Per trovare il rango hai preso un minore non nullo, per esempio $|(1,1),(1,0)|$ (righe 1 e 2, colonne 1 e 3). E allora prendi come parametro $y$ (si vede dalle
colonne, manca la 2).
Tieni conto che questa scelta non è obbligatoria. In questo caso puoi prendere anche la $z$ come parametro e vedi che esce la stessa cosa.

Comunque la scelta del parametro si fa praticamente sempre a occhio.
Con un po' di esperienza capisci subito quale parametro devi scegliere.

[m45511]

io uso sempre il metodo dei minori per scegliere il parametro, solo che questa volta mi sono scrodato di controllare il determinante della matrice che mi avrebbe portato al rango.
Grazie per l'aiuto