Risoluzione di un esercizio tosto sulle applicazioni lineare

[gtsolid]

ciao a tutti.
l'esercizio è questo

http://img820.imageshack.us/img820/9559/immagine1t.jpg

il punto a) è a posto l'ho fatto

partiamo dal punto b) dunque.
ho considerato un generico vettore $v=(x,y,z)$ e ne ho fatto il prodotto vettoriale con un vettore $(0,0,3)$, ottenendo $(3y,-3x,0)$ a cui sono andato a sottrarre due volte il vettore $v$.
al che mi è venuto $f(x,y,z)=(3y-2x,-3x-2y,-2z)$
Da qui dovrei trovare la matrice associata che a me viene $ ( ( -2 , -3 , 0 ),( 3 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , -2 ) ) $
è giusto?

[cirasa]

Quasi tutto.
Ci sono due errori di segno nella matrice.

[gtsolid]

"cirasa":Quasi tutto.
Ci sono due errori di segno nella matrice.

dove?
ordinando e sostituendo 1 e 0 a me viene la mia matrice...
o forse dovevo mettere i vettori per colonne?
io li ho inseriti per righe

[cirasa]

"gtsolid":o forse dovevo mettere i vettori per colonne?
io li ho inseriti per righe

Ah, ecco.
Vai a dare un'occhiata alla tua definizione di matrice associata.
Quasi tutti sistemano la $n$-upla delle componenti per colonne...

[gtsolid]

"cirasa":[quote="gtsolid"]o forse dovevo mettere i vettori per colonne?
io li ho inseriti per righe

Ah, ecco.
Vai a dare un'occhiata alla tua definizione di matrice associata.
Quasi tutti sistemano la $n$-upla delle componenti per colonne...[/quote]

va bene.. per quel che riguarda il punto c)
ho trovato che $ker=(0,0,0)$ (funzione iniettiva) e che quindi $DimIm=3$ e una base dell'immagine è $(-2,-3,0),(3,-2,0),(0,0,-2)$
ok?

[cirasa]

Ok.

[gtsolid]

"cirasa":Ok.

ok. per quel che riguarda il punto d)
ho trovato 3 autovalori $(-2,-2-3i,-2+3i)$
sono giusti?
posso trovare degli autovettori a partire da autovalori complessi?

[cirasa]

Dipende dal campo su cui vuoi diagonalizzare.
Se vuoi diagonalizzare su $RR$, allora l'unico autovalore è $-2$.
Se vuoi diagonalizzare su $CC$, allora ci sono tre autovalori, quelli che hai trovato tu.

Secondo me, visto che si tratta dello spazio ordinario, si sta considerando il campo $RR$.

[gtsolid]

"cirasa":Dipende dal campo su cui vuoi diagonalizzare.
Se vuoi diagonalizzare su $RR$, allora l'unico autovalore è $-2$.
Se vuoi diagonalizzare su $CC$, allora ci sono tre autovalori, quelli che hai trovato tu.

Secondo me, visto che si tratta dello spazio ordinario, si sta considerando il campo $RR$.

grazie. era in $R$

[gtsolid]

"cirasa":Dipende dal campo su cui vuoi diagonalizzare.
Se vuoi diagonalizzare su $RR$, allora l'unico autovalore è $-2$.
Se vuoi diagonalizzare su $CC$, allora ci sono tre autovalori, quelli che hai trovato tu.

Secondo me, visto che si tratta dello spazio ordinario, si sta considerando il campo $RR$.

dato che hanno molteplicità = $1$ è giusto dire che l'endomorfismo è semplice?

[cirasa]

"gtsolid":dato che hanno molteplicità = $1$ è giusto dire che l'endomorfismo è semplice?

Puoi specificare meglio la frase?
Qual è il soggetto? Gli autovalori? Che tipo di molteplicità, algebrica o geometrica?

[gtsolid]

"cirasa":[quote="gtsolid"]dato che hanno molteplicità = $1$ è giusto dire che l'endomorfismo è semplice?

Puoi specificare meglio la frase?
Qual è il soggetto? Gli autovalori? Che tipo di molteplicità, algebrica o geometrica?[/quote]

scusa.
il soggetto sono gli autovalori.
ce ne sono due complessi e uno reale. tutti con molteplicità $1$. cosa ne devo dedurre?

[cirasa]

Se stai diagonalizzando su $RR$ naturalmente devi considerare solo gli autovalori reali.
Molteplicità algebrica o geometrica?

[gtsolid]

"cirasa":Se stai diagonalizzando su $RR$ naturalmente devi considerare solo gli autovalori reali.
Molteplicità algebrica o geometrica?

ehm... la differenza?

[cirasa]

Scusami, ma sai che significa che un endomorfismo è semplice?
Come fai a capire se lo è o meno se non sai che cos'è la molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore?
Posso permettermi un consiglio? Apri un bel libro o studia i tuoi appunti.
Non me ne volere, ma è l'unico modo che conosco per superare l'esame.

[gtsolid]

"cirasa"::shock:
Scusami, ma sai che significa che un endomorfismo è semplice?
Come fai a capire se lo è o meno se non sai che cos'è la molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore?
Posso permettermi un consiglio? Apri un bel libro o studia i tuoi appunti.
Non me ne volere, ma è l'unico modo che conosco per superare l'esame.

so che un endomorfismo è semplice se, ad esempio, ogni autovalore ha molteplicità = 1, cioè compare una sola volta
$(x-1)^2$ ha come autovalore $1$ con molteplicità 2

[cirasa]

Puoi ricopiare la definizione di endomorfismo semplice dal tuo libro o dai tuoi appunti?
Di solito, la definizione di endomorfismo semplice o diagonalizzabile non è quella che hai dato tu.

[gtsolid]

"cirasa":Puoi ricopiare la definizione di endomorfismo semplice dal tuo libro o dai tuoi appunti?
Di solito, la definizione di endomorfismo semplice o diagonalizzabile non è quella che hai dato tu.

Sia f:V→V un endomorfismo definito su V e sia, inoltre, dim V = n.
Si dice che f è un endomorfismo semplice se ammette una base di autovettori:
f semplice (o diagonalizzabile)
def
⇔ ∃ B = { v1, v2, …, vn} di autovettori, base di V.

[cirasa]

Ottimo!
Ma non è la stessa cosa che avevi scritto prima. Vuol dire che bastava aprire il libro e cercare la definizione.

E poi non si parla di molteplicità geometrica e molteplicità algebrica?
Su, forza, controlla meglio. Prima si studia la teoria e poi si risolvono gli esercizi.
Come devono essere le molteplicità algebriche e geometriche degli autovalori affinchè un automorfismo sia diagonalizzabile?

Per cortesia, torna a postare quando avrai rivisto (o studiato) questi concetti. Non posso tirare tutte le risposte. Qualcosa dovrai pur farla anche tu...