[RISOLTO] Retta passante per due punti
Su queste questioni sono vergognosamente una chiavica. Propongo questo fatterello delle superiori: trovare un'equazione parametrica della retta passante per i due punti di \( \mathbb{R}^2 \)
\[ P_1 := \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \; P_2 := \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix} \]
A parte che `parametrica' ...? Dipendente da un parametro? Immagino sia solo questo.
Io sono abbastanza convinto di questo fatto --per lo meno, `geometricamente' mi pare evidente. Cioe': il vettore (visto come freccetta del piano)
\[ P_2 - P_1 \]
--ad esempio-- e' il punto \( P_2 \) visto da \( P_1 \), quindi e' una freccetta applicata in \( P_1 \) che arriva fino a \( P_2 \). Se voglio ottenere tutti i punti che condividono la direzione con \( P_2 - P_1 \) mi basta moltiplicare per uno scalare, e lasciare il termine di scalatura libero. Concluderei che la retta passante per i due punti e' la famiglia di punti del tipo
\[ \{ \lambda \cdot ( P_2 - P_1 ) : \lambda \in \mathbb{R} \} \]
Ok. Questo non e' vero pero'.
Dove sbaglio?
Ringrazio,
Giuseppe
EDIT: la cosa vergognosa e' che \( P_2 - P_1 \) e' (giustamente) un punto, ma di coordinate
\[ \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \end{bmatrix} \]
che non sta sulla retta che immagino io.
\[ P_1 := \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \; P_2 := \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix} \]
A parte che `parametrica' ...? Dipendente da un parametro? Immagino sia solo questo.
Io sono abbastanza convinto di questo fatto --per lo meno, `geometricamente' mi pare evidente. Cioe': il vettore (visto come freccetta del piano)
\[ P_2 - P_1 \]
--ad esempio-- e' il punto \( P_2 \) visto da \( P_1 \), quindi e' una freccetta applicata in \( P_1 \) che arriva fino a \( P_2 \). Se voglio ottenere tutti i punti che condividono la direzione con \( P_2 - P_1 \) mi basta moltiplicare per uno scalare, e lasciare il termine di scalatura libero. Concluderei che la retta passante per i due punti e' la famiglia di punti del tipo
\[ \{ \lambda \cdot ( P_2 - P_1 ) : \lambda \in \mathbb{R} \} \]
Ok. Questo non e' vero pero'.
Dove sbaglio?
Ringrazio,
Giuseppe
EDIT: la cosa vergognosa e' che \( P_2 - P_1 \) e' (giustamente) un punto, ma di coordinate
\[ \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \end{bmatrix} \]
che non sta sulla retta che immagino io.
Risposte
Ciao Giuseppe 
Ci sei quasi: quella che hai scritto è la retta vettoriale, cioè la direzione lungo cui ti devi muovere per andare da $P_1$ a $P_2$ (nota infatti che quello che hai scritto è proprio un sottospazio vettoriale del piano, il sottospazio generato dal vettore $P_2-P_1$).
Come ottenere la retta che cerchi? Be', hai già la direzione: non ti resta che traslare il tutto in modo che passi per uno dei due punti in questione.
Più in generale, se vuoi il trucchetto da tenere a mente è questo: hai due punti $P_1, P_2 \in \mathbb R^N$. Chiama $v=P_2-P_1$; la retta che cerchi ha come (una possibile) equazione parametrica \( \mathbf{x}=t\mathbf{v}+P_1 \), con $t \in RR$ (come sempre, confondiamo punti dello spazio euclideo con i vettori che rappresentano, quindi $P_1$ è la N-pla delle coordinate del vettore $OP_1$). Un po' più chiaro?
Ci sei quasi: quella che hai scritto è la retta vettoriale, cioè la direzione lungo cui ti devi muovere per andare da $P_1$ a $P_2$ (nota infatti che quello che hai scritto è proprio un sottospazio vettoriale del piano, il sottospazio generato dal vettore $P_2-P_1$).
Come ottenere la retta che cerchi? Be', hai già la direzione: non ti resta che traslare il tutto in modo che passi per uno dei due punti in questione.
Più in generale, se vuoi il trucchetto da tenere a mente è questo: hai due punti $P_1, P_2 \in \mathbb R^N$. Chiama $v=P_2-P_1$; la retta che cerchi ha come (una possibile) equazione parametrica \( \mathbf{x}=t\mathbf{v}+P_1 \), con $t \in RR$ (come sempre, confondiamo punti dello spazio euclideo con i vettori che rappresentano, quindi $P_1$ è la N-pla delle coordinate del vettore $OP_1$). Un po' più chiaro?
Ciao Paolo,
Non mi era mai successo di dover far uso di questa terminologia, ma ...la retta passante per \( P_1 \) e \( P_2 \) e' --per lo meno in questo caso-- quello che viene chiamato un sottospazio affine del sottospazio vettoriale (di \mathbb{R}^2) generato da
\[ \mathbb{R}^2 \ni \mathbf{p} := P_2 - P_1 \; ,\]
corretto?
L'altra e' chiaramente
\[ \mathbf{x} = t \mathbf{p} + P_2 \]
Sembra di si al momento
Ti ringrazio per la cortesia, come sempre.
"Paolo90":
Ci sei quasi: quella che hai scritto è la retta vettoriale, cioè la direzione lungo cui ti devi muovere per andare da $P_1$ a $P_2$ (nota infatti che quello che hai scritto è proprio un sottospazio vettoriale del piano, il sottospazio generato dal vettore $P_2-P_1$). [...] non ti resta che traslare il tutto in modo che passi per uno dei due punti in questione.
Non mi era mai successo di dover far uso di questa terminologia, ma ...la retta passante per \( P_1 \) e \( P_2 \) e' --per lo meno in questo caso-- quello che viene chiamato un sottospazio affine del sottospazio vettoriale (di \mathbb{R}^2) generato da
\[ \mathbb{R}^2 \ni \mathbf{p} := P_2 - P_1 \; ,\]
corretto?
"Paolo90":
Più in generale, se vuoi il trucchetto da tenere a mente è questo: hai due punti $P_1, P_2 \in \mathbb R^N$. Chiama $v=P_2-P_1$; la retta che cerchi ha come (una possibile) equazione parametrica \( \mathbf{x}=t\mathbf{v}+P_1 \) ...
L'altra e' chiaramente
\[ \mathbf{x} = t \mathbf{p} + P_2 \]
"Paolo90":
Un po' più chiaro?
Sembra di si al momento
Ti ringrazio per la cortesia, come sempre.
"giuscri":
Non mi era mai successo di dover far uso di questa terminologia, ma ...la retta passante per \( P_1 \) e \( P_2 \) e' --per lo meno in questo caso-- quello che viene chiamato un sottospazio affine del sottospazio vettoriale (di \mathbb{R}^2) generato da
\[ \mathbb{R}^2 \ni \mathbf{p} := P_2 - P_1 \; ,\]
corretto?
Più semplicemente, la dicitura corretta è: la retta passante per $P_1$ e $P_2$ è un sottospazio affine (del piano) la cui giacitura è il sottospazio (vettoriale) generato dal vettore $P_2-P_1$.
"giuscri":
[quote="Paolo90"]Più in generale, se vuoi il trucchetto da tenere a mente è questo: hai due punti $P_1, P_2 \in \mathbb R^N$. Chiama $v=P_2-P_1$; la retta che cerchi ha come (una possibile) equazione parametrica \( \mathbf{x}=t\mathbf{v}+P_1 \) ...
L'altra e' chiaramente
\[ \mathbf{x} = t \mathbf{p} + P_2 \]
[/quote]
Sì, questa è un'altra possibile equazione, ma tieni conto che sono infinite (e.g.\( \mathbf{x} = k t \mathbf{p} + P_2 \) con $k \in \RR$ fissato è un'altra equazione ancora).
"giuscri":
Ti ringrazio per la cortesia, come sempre.
Figurati.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo