[RISOLTO] Esercizio molto standard di topologia

[giuscri]

Sono molto indeciso su questo esercizio:

Per ogni $n \in NN$ si considerino gli insiemi seguenti:

$E_n : = {(x,y) \in RR^2 : 0 < 2+ny|x| < n+3}$[/list:u:30ke3rzk]


$E = \bigcap_(n = 1)^infty {E_n}$[/list:u:30ke3rzk]

Ora:


$2 + ny|x| > 0$[/list:u:30ke3rzk]

$\rArr y > - 2/(n|x|)$[/list:u:30ke3rzk]

dall'altra parte:


$2 + ny|x| < n+3$[/list:u:30ke3rzk]

$\rArr y < (n+1) / n * 1/|x|$[/list:u:30ke3rzk]

Dunque, facendo un disegno qualitativo:

$E$ è aperto, $E$ non è chiuso, $E$ non è compatto, $E' != 0$.

Che dite voi, invece?

Grazie mille!

[perplesso1]

Sei sicuro che sia aperto? A me viene la regione di piano compresa fra l'asse delle ascisse (incluso) e il grafico di $y|x| = 1$ (incluso) più tutto l'asse delle ordinate. Sto sbagliando ?

[giuscri]

"perplesso":Sei sicuro che sia aperto? A me viene la regione di piano compresa fra l'asse delle ascisse (incluso) e il grafico di $y|x| = 1$ (incluso) più tutto l'asse delle ordinate. Sto sbagliando ?

Hai ragione tu. L'asse delle ordinate è in $E$! Mmm. Ok, quindi concluderei dicendo che $E$ non è né aperto, né chiuso (mancano tutti i punti della curva $y|x| = 1$ che sono d'accumulazione per $E$); allora sicuramente non è compatto, e non è nemmeno limitato.

Che mi dici?

[perplesso1]

"giuscri":(mancano tutti i punti della curva $y|x| = 1$ che sono d'accumulazione per $E$)

Perchè dici questo? Secondo me se $y|x| = 1$ hai che $2+ny|x| = 2+n$ e quindi $0 < n+2 < n+3$ che è vero per ogni $n \in NN$, morale della favola: il grafico di $y|x| = 1$ è incluso in ogni $E_n$ e quindi anche in $E$ che pertanto è chiuso. Ti trovi?

[giuscri]

Scusami, sono stato un po' affrettato a scrivere la risposta di prima. Sono d'accordo con quello che dici, comunque. Concludo con la chiusura di $E$.

Un'ultima cosa -intanto ti ringrazio moltissimo per il tempo.
Come dovrei visualizzare questi esercizi, secondo te?

Per questo in particolare, ho pensato graficamente a

[*:1g6sivbz]$y > -2/n * 1/|x|$[/*:1g6sivbz][/list:u:1g6sivbz]


[*:1g6sivbz]$y < (n+1) / n * 1/|x|$[/*:1g6sivbz][/list:u:1g6sivbz]

vedendo ad occhio "l'evolversi" della regione del piano compresa dalle due curve, al crescere di $n$.

L'eleganza con cui hai scritto l'ultimo messaggio però mi fa sospettare che sia un po' troppo rozzo nella risoluzione di questi esercizi. Hai qualche suggerimento da darmi o comunque la tecnica, a grandi linee, può essere quella che ho adottato?

Grazie mille!

[perplesso1]

"giuscri":L'eleganza con cui hai scritto l'ultimo messaggio però mi fa sospettare che sia un po' troppo rozzo nella risoluzione di questi esercizi

no guarda ho ragionato come te, ho anche fatto un disegnino su un foglietto per "vedere" meglio la situazione. Però quando non riesci a dedurre dal grafico se certi punti stanno dentro o fuori da un certo insieme allora devi cercare cercare di dedurlo "analiticamente" cioè facendo i conti. Tutto qua, questione di pratica...

ti ringrazio moltissimo per il tempo

Prego figurati.