Riduzione di una conica a forma canonica

[markolino]

Ragazzi ho dei grandissimi problemi a riddurre una conica in forma canonica.. Allora consideriamo ad esempio la conica C di equazione:

$ x^2 + y^2 + 2xy + 2y + 1 = 0 $

Allora prima di tutto mi calcolo gli inviarianti e vedo di che conica si tratta, in questo caso abbiamo una parabola. Poi mi sono calcolato gli autovalori, gli autovettori e dopo averli normalizzati ottengo la seguente matrice:

$ C= | ( sqrt2/2 , sqrt2/2 ),( -sqrt2/2 , sqrt2/2 ) | $

Quindi ho: $ {(x = sqrt2/2 x' + sqrt2/2 y'),(y = -sqrt2/2 x' + sqrt2/2 y' ):} $

A questo punto se voglio trovarmi l'equazione canonica della conica centrata nel punto O (0,0) come devo procedere? Alla fine dell'esercizio devo trovare:

• L'equazione della conica con centro nell'orgigine

• Trovare eventuali assi di simmetria, eventuale centro di simmetria ed eventuali asintoti e disegnare la conica originale, ovvero la conica di equazione:


$ x^2 + y^2 + 2xy + 2y + 1 = 0 $


Potete gentilmente aiutarmi?

[markolino]

Nessuno è in grado di aiutarmi?

[Sk_Anonymous]

La parabola non ha centro. Nel caso della parabola l'equazone canonica si ottiene traslando l'origine del sistema di riferimento nel vertice.

[markolino]

In questo caso la parabola dovrebbe essere rototraslata.. Per favore mi aiutate a risolvere questo esercizio con i vari passaggi? E da 2 giorni che ci sbatto la testa, ma non riesco a capire come fare.. In teoria devo trovarmi il centro O', dopodichè dovrei trovarmi il vertice, l'asse di simmetria e il fuoco, ma non so come andare avanti

[Sk_Anonymous]

La trasformazione di coordinate relativa alla rotazione è quella che hai già scritto. Se sostituisci nella tua equazione della conica, dovrebbe andare via il termine in $xy$, altrimenti hai fatto male i conti. Quindi, mediante completamento dei quadrati, puoi mettere la conica in forma canonica e calcolare tutte le quantità di cui hai bisogno.

[markolino]

Andando a sostituire ottengo la seguente equazione:

$ 2y'^2 + sqrt2y' - sqrt2x' + 1 = 0 $

Adesso come devo procedere?

[Sk_Anonymous]

Devi scriverla nella forma $x - x_v= a(y - y_v)^2$ con $V(x_v,y_v)$.
Il secondo membro puoi ottenerlo completando il quadrato.
In questo modo si esplicitano le due equazioni relative alla traslazione.

[markolino]

Ok quindi considero l'equazione: $ 2y'^2 + sqrt2y' - sqrt2x' + 1 = 0 $ e devo scriverla nellla forma $ x - xv = a( y- yv)^2 $

Quindi eseguo i passaggi:

$ sqrt2x' - 1 = 2y'^2 + sqrt2y' + 1/4 - 1/4 $

$ sqrt2x' - 1 = (sqrt2y' + 1/2)^2 - 1/4 $

$ sqrt2x' - 1 + 1/4 = (sqrt2y' + 1/2)^2 $

$ sqrt2x' - 3/4 = (sqrt2y' + 1/2)^2 $

$ sqrt2x' - 3/4 = [sqrt2(y' + 1/(2sqrt2))]^2 $

$ sqrt2x' - 3/4 = 2(y' + sqrt2/4)^2 $

$ x' - 3/(4sqrt2) = 2/sqrt2(y' + sqrt2/4)^2 $

E alla fine quindi ottengo:

$ x' - 3sqrt2/8 = sqrt2(y' + sqrt2/4)^2 $

Ovvero l'equazione scritta nella formula $ x - xv = a( y- yv)^2 $

Ora come vado avanti?

[Sk_Anonymous]

Puoi eseguire la seguente traslazione:

$\{(x'' = x' - (3sqrt2)/8),(y'' = y' + sqrt(2)/4):}$

A questo punto hai l'equazione della parabola nella forma delle scuole superiori e puoi calcolare tutto quello che vuoi. Che cosa ti è rimasto da calcolare?

[markolino]

Ok quindi eseguendo la traslazione ho:


$ {(x'' = x' - 3sqrt2/8),(y'' = y' + sqrt2/4 ):} $

ovvero:


$ {(x' = x'' + 3sqrt2/8),(y' = y'' - sqrt2/4 ):} $


Comunque adesso come faccio a ricavarmi l'equazione canonica della parabola? Poi ora dovrei calcolarmi il vertice, l'asse di simmetria e il fuoco della parabola rototraslata. Come procedo?

[Sk_Anonymous]

L'equazione canonica della parabola è quella appena trovata, espressa nelle coordinate $x''$ e $y''$.
Con l'equazione in questa forma esistono semplici formule per calcolare quello che chiedi.
Si tratta allora di tornare indietro alle coordinate $x'$ e $y'$, infine alle coordinate $x$ e $y$.

[markolino]

Ok però adesso io non so come procedere, in pratica alla fine dell'esercizio devo aver ridotto la conica a forma canonica metrica, aver trovato il vertice, il fuoco e le equazioni degli assi. Infine devo disegnare la parabola. Ora io non so come trovare tutto ciò, se gentilmente potresti spiegarmi come procedere. Grazie

[markolino]

Io non riesco proprio a capire, sono 3 giorni che ci sbatto la testa ma proprio non capisco! Ho le idee molto confuse Io devo trovare l'equazione canonica della parabola, quindi considerando il centro del sistema O (0,0), poi però devo disegnare la parabola di equazione $ x^2 + y^2 + 2xy + 2y + 1 = 0 $, e quindi il sistema di riferimento di questa parabola avrà un altro centro O', che in teoria dovrebbe essere proprio il punto in cui si trova il vertice della parabola. Ho fatto tutti quei procedimenti prima, ma non ho ancora risolto niente e sto impazzendo perchè non riesco proprio a capire! Alla fine qual'è l'equazione canonica della conica di equazione $ x^2 + y^2 + 2xy + 2y + 1 = 0 $? Ovvero l'equazione canonica scritta come $ x = ay^2 + by + c $ oppure $ y = ax^2 + bx + c $? Questa equazione rappresenta la parabola nel sistema di riferimento di centro O (0,0) giusto? Pertanto posso disegnare questa conica utilizzando le formule che conosco per la parabola.. Ma la conica rototraslata di equazione $ x^2 + y^2 + 2xy + 2y + 1 = 0 $ come la disegno?? Per favore aiutatemi a capire, sono disperato

[Sk_Anonymous]

Come ho già detto, l'equazione canonica di una parabola è $y = ax^2$ oppure $x = ay^2$. Dopo aver fatto i passaggi algebrici che hai dimostrato di saper fare, sai tranquillamente disegnarla rispetto all'ultimo sistema di riferimento. Nella peggiore delle ipotesi, per arrivare a questo sistema di riferimento, hai dovuto compiere, prima una rotazione, poi una traslazione. Per vedere la parabola rispetto al primo sistema di riferimento, non devi ovviamente ridisegnare la parabola, basta far vedere il primo sistema di riferimento rispetto all'ultimo. Per fare questo, basta interpretare correttamente le trasformazioni eseguite per determinare il valore dell'angolo di rotazione e il valore del vettore di traslazione. Ma questo non è più un problema di coniche, bisogna saper disegnare gli assi di un sistema di riferimento rispetto ad un altro quando si passa da uno all'altro mediante rototraslazioni.

[markolino]

Ok, quindi se adesso nell'ultimo sistema esplicito x' e y' in funzione di x'' e y'' e vado a sostituire nell'equazione $ 2y'+ sqrt2y'- sqrt2x'+ 1 = 0 $ mi trovo l'equazione canonica della parabola in funzione di x'' e y'' che posso disegnare utilizzando le formule che ho imparato alle superiori?

[Sk_Anonymous]

Fai molto prima a sostituire nell'equazione trasformata: $x' - x_v = a(y' - y_v)^2$ che diventa $x'' = ay''^2$.

[markolino]

Si giusto, quindi alla fine ho come equazione canonica $ x'' = sqrt2y''^2 $ e questa parabola la disegno facilmente. Ma le coordinate del vertice della parabola iniziale sono quindi V ( $ 3sqrt2 / 8, -sqrt2 / 4 $ ) e pertanto $ x'' = x' - 3sqrt2/8 $ e $ y'' = y' + sqrt2/4 $ rappresentano gli assi del sistema di riferimento rototraslato?

[Sk_Anonymous]

Se preferisci ottenere la trasformazione complessiva di rototraslazione, devi recuperare le formule che da $x'y'$ ti fanno passare a $xy$ e sostituire in modo da avere la relazione che lega $x''y''$ a $xy$. Quindi, per ottenere, per esempio, l'asse della parabola rispetto al sistema di riferimento originale, equazione $y''= 0$ rispetto all'ultimo sistema di riferimento, sostituisci in $y''$ la relazione trovata in funzione di $xy$. Più facile a farsi che a dirsi.

[markolino]

sostituisci in y'' la relazione trovata in funzione di xy. Più facile a farsi che a dirsi.

Però non ho ben capito dove devo andare a sostituire $ y'' = 0 $ per trovarmi l'asse di simmetria del sistema di riferimento iniziale. In quale equazione devo andare a sostituire? E proprio questo il punto, una volta calcolati con le formule l'asse di simmetria e il vertice dall'equazione canonica della parabola, non ho capito come fare a calcolare l'asse di simmetria e il vertice della parabola non in forma canonica.

[Sk_Anonymous]

Non l'asse di simmetria del sistema di riferimento iniziale, l'asse di simmetria nel sistema di riferimento iniziale.
L'asse di simmetria della parabola è unico. Cambia la sua equazione a seconda del sistema di riferimento. Nel sistema di riferimento in cui la parabola è in forma canonica, l'asse di simmetria della parabola ha equazione $y'' = 0$. Se vuoi trovare la sua equazione nel sistema di riferimento originale, devi trasformare l'equazione in modo tale che compaiano solo $x$ e$y$.

[markolino]

. Se vuoi trovare la sua equazione nel sistema di riferimento originale, devi trasformare l'equazione in modo tale che compaiano solo x ey.

Gentilmente potresti farmi vedere come devo procedere? Come faccio a trasformare l'equazione?