Riduzione di una conica a forma canonica

[markolino]

Ragazzi ho dei grandissimi problemi a riddurre una conica in forma canonica.. Allora consideriamo ad esempio la conica C di equazione:

$ x^2 + y^2 + 2xy + 2y + 1 = 0 $

Allora prima di tutto mi calcolo gli inviarianti e vedo di che conica si tratta, in questo caso abbiamo una parabola. Poi mi sono calcolato gli autovalori, gli autovettori e dopo averli normalizzati ottengo la seguente matrice:

$ C= | ( sqrt2/2 , sqrt2/2 ),( -sqrt2/2 , sqrt2/2 ) | $

Quindi ho: $ {(x = sqrt2/2 x' + sqrt2/2 y'),(y = -sqrt2/2 x' + sqrt2/2 y' ):} $

A questo punto se voglio trovarmi l'equazione canonica della conica centrata nel punto O (0,0) come devo procedere? Alla fine dell'esercizio devo trovare:

• L'equazione della conica con centro nell'orgigine

• Trovare eventuali assi di simmetria, eventuale centro di simmetria ed eventuali asintoti e disegnare la conica originale, ovvero la conica di equazione:


$ x^2 + y^2 + 2xy + 2y + 1 = 0 $


Potete gentilmente aiutarmi?

[Sk_Anonymous]

Hai le seguenti trasformazioni di coordinate:

Rotazione

$\{(x' = ax + by),(y' = cx + dy):}$

Traslazione

$\{(x'' = x' + e),(y'' = y' + f):}$

con $a, b, c, d, e, f$ costanti.

Utilizza le due equazioni della prima trasformazione per esprimere $x'' y''$ in funzione di $x y$.

A questo punto, una qualsiasi retta espressa in funzione di $x'' y''$, quindi anche l'asse della parabola, potrà essere espressa in funzione di $x y$.

[markolino]

Ok quindi ottengo:


$ { ( x'' = ax + by + e ),( y'' = cx + dy + f ):} $

Sapendo dall'equazione $ x^2 + y^2 + 2xy + 2y + 1 = 0 $ che a = b = c = e = f = 1 e d = 0

si ha:

$ { ( x'' = x + y + 1 ),( y'' = x + 1 ):} $

A questo punto se voglio trovare l'equazione dell'asse di simmetria e le coordinate del vertice nel sistema di riferimento iniziale come faccio?

[Sk_Anonymous]

No no, quei coefficienti non sono quelli della conica, sono quelli delle trasformazioni che tu stesso hai già scritto!!!

[markolino]

Ho capito, quindi mi basta scrivere:

$ { ( x'' = sqrt2/2x + sqrt2/2y - 3sqrt2/8 ),( y'' = -sqrt2/2x + sqrt2/2y + sqrt2/4 ):} $

Quindi imponendo $ y'' = 0 $ nella seconda equazione ottengo l'equazione $ x - y = 1/2 $ che rappresenta appunto l'equazione dell'asse di simmetria nel sistema di riferimento iniziale. Giusto?

[markolino]

Però c'è qualcosa che non torna con i segni.. Guardando le soluzioni l'equazione dell'asse di simmetria dovrebbe venire $ x + y = -1/2 $

[Sk_Anonymous]

Stavo giusto controllando. Hai espresso la rotazione (all'inizio) come $xy$ in funzione di $x'y'$. Quando trovi la rototraslazione complessiva, devi sostituire al posto di $x'y'$ le espressioni in $xy$. In pratica, le formule della rotazione vanno invertite. Essendo la matrice ortogonale, basta fare la trasposta. Dammi una conferma sul risultato finale.

[markolino]

Ok quindi dovrei avere:

$ { ( x'' = sqrt2/2 x - sqrt2/2 y -3sqrt2/8 ),( y'' = sqrt2/2 x+ sqrt2/2 y + sqrt2/4 ):} $

Pertanto ponendo $ x'' = 0 $ e $ y'' = 0 $ mi trovo le seguenti equazioni degli assi:

$ { ( x'': x-y=3/4 ),( y'': x+y = -1/2 ):} $

E dall'intersezione mi trovo le coordinate del vertice V ( $ 1/8,-5/8 $ )

Pertanto conoscendo il verttice, andando a sostituire qualche punto posso facilmente disegnarmi la parabola rototraslata.

[Sk_Anonymous]

Nella rototraslazione non $x'$ e $y'$ a secondo membro ma $x$ e $y$, altrimenti si fa confusione. Infatti dopo non hai messo gli apici.

[markolino]

Si ok, ho corretto. Ma nel caso avessi avuto un'iperbole o un'ellisse il procedimento sarebbe stato lo stesso?

[Sk_Anonymous]

Il procedimento è concettualmente identico. Le forme canoniche sono diverse. Nel caso peggiore, devi fare una rotazione e completare il quadrato rispetto ad entrambe le variabili. Dopo averle trasformate in forma canonica, puoi calcolare centro, fuochi, vertici, assi e asintoti. Per il calcolo puoi sempre usare le semplici formule delle scuole superiori per poi riportarle nel sistema di riferimento iniziale.

[markolino]

Ok però io non ho molta pratica con il completamento del quadrato, ad esempio se ho un'ellisse che dopo la rotazione si presenta nell'equazione:

$ x^2 + 5y^2 + 32x/sqrt2 + 7 = 0 $

Adesso come posso effettuare la traslazione? Dovrei completare al quadrato e scrivere:

$ { ( x'' = x' + a ),( y'' = y' + b ):} $

Però come mi trovo a e b?

[Sk_Anonymous]

Non riesco a leggere bene.
In ogni modo, supponendo la seguente equazione della conica mancante del termine $xy$ perchè, qualora necessario, hai già fatto la rotazione:

$ax^2 + by^2 + dx + ey + f = 0$

esegui i seguenti passaggi:

$ax^2 + dx = a(x^2 + d/ax)$

$by^2 + ey = b(y^2 + e/by)$

Quindi completi il quadrato all'interno delle parentesi, il termine noto che non ti serve lo moltiplichi per il coefficiente davanti alla parentesi e poi inglobi tutto nel termine noto complessivo. Alla fine dividi tutto per il termine noto complessivo perchè nella forma canonica deve valere $1$ o $-1$. Hai fatto prima questo procedimento, anche se in modo meno lineare. Infine poni $x''$ e $y''$ uguali ai due binomi che sono elevati al quadrato.

[markolino]

Ok, considerando l'equazione:

$ x^2 + 5y^2 + 32x/sqrt2 + 7 = 0 $

Andando a sotituire mi verrebbe:

$ x^2 + 16x/sqrt2 = (x^2 + 16x/sqrt2) $

$ 5y^2 = 5y^2 $

Adesso come vado avanti?

[markolino]

Ho risolto così:

$ x'^2 + 5y'^2 + (32x')/sqrt2 + 7 = 0 $

Considero la parte $ x'^2 + (32x')/sqrt2 $

La voglio scrivere come: $ (x'+a)^2 = x'^2 + a^2 + 2ax'

Ho: $ (32x')/sqrt2 = 2ax' $, quindi: $ a = 16/sqrt2 $ e $ a^2 = 128 $

Pertanto: $ x'^2 + (32x')/sqrt2 + 128 - 128 + 5y'^2 + 7 = 0 $

$ (x' + 16/sqrt2)^2 + 5y'^2 - 121 = 0 $

Alla fine ottengo:

$ (x' + 16/sqrt2)^2 + 5y'^2 = 121 $

Ovvero: $ a = 16/sqrt2 $ e $ b = 0 $

Andando ad inserire a e b nelle equazioni ho:

$ { ( x'' = x' + 16/sqrt2 ),( y'' = y' ):} $

Esplicitando $ x' $ e $ y' $:


$ { ( x' = x'' - 16/sqrt2 ),( y' = y'' ):} $

Andando a sostituire in $ (x' + 16/sqrt2)^2 + 5y' = 121 $

Ottengo l'equazione canonica dell'ellisse:

$ x''^2 + 5y''^2 = 121 $

È tuto giusto?

[Sk_Anonymous]

Quasi. La forma canonica prevede $1$ al secondo membro:

$(x'')^2/a^2 + (y'')^2/b^2 = 1$

Nel tuo caso:

$(x'')^2/121 + (y'')^2/(121/5) = 1$ con $a^2 = 121$ e $b^2 = 121/5$

Adesso puoi applicare le formule delle superiori.

[markolino]

Ah ok. Credo di aver capito allora, adesso provo a fare anche il caso dell'iperbole rototraslata, poi se ho problemi ti faccio sapere.
Comunque grazie per l'aiuto!

[jitter1]

Sulla riduzione a forma canonica, a me invece non è chiaro come distinguere il caso delle coniche euclidee da quello delle coniche affini nel momento in cui interviene la matrice (la chiamo M) che serve a far scomparire il termine in xy.

Cioè, nel caso delle coniche euclidee questa matrice deve essere ortogonale perché sto cercando una conica congruente a quella di partenza, giusto? Invece per le coniche affini in generale, visto che sto cercando una conica affinemente equivalente, posso usare anche una matrice non ortogonale?