Riduzione a forma canonica di una conica
Salve a tutti!
Un esercizio mi chiede di dimostrare che $ x^2-2xy+y^2+10x+2y+7=0 $ è una parabola e di trovare il vertice e l'asse.
Non ho avuto difficoltà a dimostrare che è una parabola. Poi ho trovato gli autovalori e i rispettivi autovettori di $ A-lambdaI=( ( 1-lambda , -1 ),( -1 , 1-lambda ) ) $ : $ lambda_1=0 $ , $ lambda_2=2 $ $ mlambda_1=mlambda_2=1 $ . Gli autovettori sono $ Vlambda_1=(1/(sqrt2) , 1/(sqrt2)) $ e $ Vlambda_2=(-1/(sqrt2) , 1/(sqrt2)) $ .
Quindi ho potuto trovare $ X=PX' =>$ $ ( ( x ),( y ) )=( ( 1/(sqrt2) , 1/(sqrt2) ),( 1/(sqrt2) , -1/(sqrt2) ) )( ( x' ),( y' ) ) $ .
Sostituendo a $ ((x, y))A( ( x ),( y ) ) + ( ( 10 , 2 ) )( (x),(y))+7=0 $ ottengo:
$ ((x', y'))( ( 0 , 0 ),( 0 , 2 ) )( ( x' ),( y' ) ) + ( ( 10 , 2 ) )( ( 1/(sqrt2) , 1/(sqrt2) ),( -1/(sqrt2) , 1/(sqrt2) ) )( (x'),(y'))+7=0 $ .
Ora però non so come continuare e gli appunti sono poco chiari. Potreste aiutarmi, per favore?
Ps: scusate se ho scritto lo svolgimento in modo un po' sommario, spero che riuscite a capire cosa ho fatto. In caso contrario chiedetemi pure
Un esercizio mi chiede di dimostrare che $ x^2-2xy+y^2+10x+2y+7=0 $ è una parabola e di trovare il vertice e l'asse.
Non ho avuto difficoltà a dimostrare che è una parabola. Poi ho trovato gli autovalori e i rispettivi autovettori di $ A-lambdaI=( ( 1-lambda , -1 ),( -1 , 1-lambda ) ) $ : $ lambda_1=0 $ , $ lambda_2=2 $ $ mlambda_1=mlambda_2=1 $ . Gli autovettori sono $ Vlambda_1=(1/(sqrt2) , 1/(sqrt2)) $ e $ Vlambda_2=(-1/(sqrt2) , 1/(sqrt2)) $ .
Quindi ho potuto trovare $ X=PX' =>$ $ ( ( x ),( y ) )=( ( 1/(sqrt2) , 1/(sqrt2) ),( 1/(sqrt2) , -1/(sqrt2) ) )( ( x' ),( y' ) ) $ .
Sostituendo a $ ((x, y))A( ( x ),( y ) ) + ( ( 10 , 2 ) )( (x),(y))+7=0 $ ottengo:
$ ((x', y'))( ( 0 , 0 ),( 0 , 2 ) )( ( x' ),( y' ) ) + ( ( 10 , 2 ) )( ( 1/(sqrt2) , 1/(sqrt2) ),( -1/(sqrt2) , 1/(sqrt2) ) )( (x'),(y'))+7=0 $ .
Ora però non so come continuare e gli appunti sono poco chiari. Potreste aiutarmi, per favore?
Ps: scusate se ho scritto lo svolgimento in modo un po' sommario, spero che riuscite a capire cosa ho fatto. In caso contrario chiedetemi pure
Risposte
C'è un "errore" con la matrice ortogonale. Infatti, hai bisogno che la tua matrice sia ortogonale speciale, perchè sia una rotazione del piano. Quindi devi cambiare ad esempio i segni della seconda colonna, in modo che il determinante venga $1$.
Dopo ciò, potresti svolgere i conti dell'espressione matriciale che hai trovato e ottenere un'espressione in $x',y'$ senza termini misti; a quel punto, puoi completare i quadrati (che corrisponde a una traslazione del sistema già ruotato) arrivando alla fine a scrivere la tua conica in forma canonica.
Chiaro? Se hai ancora dubbi chiedi pure
Dopo ciò, potresti svolgere i conti dell'espressione matriciale che hai trovato e ottenere un'espressione in $x',y'$ senza termini misti; a quel punto, puoi completare i quadrati (che corrisponde a una traslazione del sistema già ruotato) arrivando alla fine a scrivere la tua conica in forma canonica.
Chiaro? Se hai ancora dubbi chiedi pure
Nella matrice avevo cambiato i segni ma sono apparsi sbagliati. Comunque perché il determinante sia positivo, il termine nella prima riga e seconda colonna è negativo, mentre gli altri sono tutti positivi.
Ho fatto come mi hai detto ma non riesco comunque ad arrivare alla fine.
$ 2y'^2 + 12/(sqrt2)x'-8/(sqrt2)y'+7=0 $ da cui $ { ( X=12/(sqrt2) ),( Y=2y'-8/(sqrt2) ):} $ .
E adesso che faccio?
Ho fatto come mi hai detto ma non riesco comunque ad arrivare alla fine.
$ 2y'^2 + 12/(sqrt2)x'-8/(sqrt2)y'+7=0 $ da cui $ { ( X=12/(sqrt2) ),( Y=2y'-8/(sqrt2) ):} $ .
E adesso che faccio?
"Vegastar":
Nella matrice avevo cambiato i segni ma sono apparsi sbagliati.
Ah, ok.
Ho fatto come mi hai detto ma non riesco comunque ad arrivare alla fine.
$ 2y'^2 + 12/(sqrt2)x'-8/(sqrt2)y'+7=0 $ da cui $ { ( X=12/(sqrt2) ),( Y=2y'-8/(sqrt2) ):} $ .
E adesso che faccio?
No, non va bene. Da qui $ 2y'^2 + 12/(sqrt2)x'-8/(sqrt2)y'+7=0 $ devi, raccogliendo opportunamente e aggiungendo (e sottraendo) termini appositi, ricondurti a quadrati di binomi contenenti $x'$ e $y'$. Alla fine, soltanto alla fine, cambi riferimento.
Prova a postare un po' di conti...
Ok, forse ho capito. Ci sto provando. Finora ho fatto così:
$ 2y'+12/(sqrt2)x'-8/(sqrt2)y'+7=0 => (2y'^2-8/(sqrt2)y'+4)-4+12/(sqrt2)x'+7=0 => ((sqrt2)y'-2)^2+12/(sqrt2)x'+3=0 $ .
Giusto fin qui? Però mi chiedo se devo ridurre a un quadrato anche il termine con $x'$, dato che non appare $x'^2$? No vero? Anche perchè non posso aggiungere o sottrarre le incognite, giusto?
$ 2y'+12/(sqrt2)x'-8/(sqrt2)y'+7=0 => (2y'^2-8/(sqrt2)y'+4)-4+12/(sqrt2)x'+7=0 => ((sqrt2)y'-2)^2+12/(sqrt2)x'+3=0 $ .
Giusto fin qui? Però mi chiedo se devo ridurre a un quadrato anche il termine con $x'$, dato che non appare $x'^2$? No vero? Anche perchè non posso aggiungere o sottrarre le incognite, giusto?
"Vegastar":
Ok, forse ho capito. Ci sto provando. Finora ho fatto così:
$ 2y'+12/(sqrt2)x'-8/(sqrt2)y'+7=0 => (2y'^2-8/(sqrt2)y'+4)-4+12/(sqrt2)x'+7=0 => ((sqrt2)y'-2)^2+12/(sqrt2)x'+3=0 $ .
Giusto fin qui? Però mi chiedo se devo ridurre a un quadrato anche il termine con $x'$, dato che non appare $x'^2$? No vero? Anche perchè non posso aggiungere o sottrarre le incognite, giusto?
Si, certo; scusami, prima ho scritto pensando al procedimento generale, valido per ogni conica. Giustamente, essendo questa una parabola non hai il termine in $x'^2$.
E adesso, come finisci l'esercizio?
Ti posto la riduzione a forma canonica veloce, magari tu non la conosci! Ricordati però di usarla come una verifica fanne uso non abuso.
Per vedere se è una parabola non c'è bisogno di fare tutto quel procedimento che hai fatto, basta che ti calcoli il determinante della matrice (quella con cui poi ti calcoli gli autovalori).
Se $ Det|a|=0 $ la conica è una parabola
Se $ Det|a|<0 $ la conica è un'iperbole
Se $ Det|a|>0 $ la conica è un'ellisse.
Per calcolarti la forma canonica basta calcolare gli AUTOVALORI $l$ e $m$ e poi fai quanto segue:
Se la conica è ellisse o iperbole l'equazione sarà: $lx^2+my^2=c $ c sarà calcolato con $c=-(Det|Ao|)/(l*m) $ Per avere la forma canonica basta che sostituisci al posto di $l$ e $m$ gli autovalori che ti sei calcolato. Nota bene per $Det|Ao|$ intendo il determinante DELLA MATRICE COMPLETA che rappresenta una conicha, non il minore che usi per il calcolo degli autovalori.
Se la conica è una parabola l'equazione sarà: $my^2=2cx$ puoi notare che manca un autovalore poichè nella parabola un autovalore è sempre $0$ c sarà coalcolato con $c=sqrt(-(Det|Ao|)/(m)).
Basterà come nel caso precedente sostituire $m$ all'equazione ed avrai la forma canonica
Spero di esserti stato d'aiuto.
Ti allego il link con il file nel caso vuoi sapere di più, è tutto ben spiegato:
http://progettomatematica.dm.unibo.it/C ... frame2.htm
Per vedere se è una parabola non c'è bisogno di fare tutto quel procedimento che hai fatto, basta che ti calcoli il determinante della matrice (quella con cui poi ti calcoli gli autovalori).
Se $ Det|a|=0 $ la conica è una parabola
Se $ Det|a|<0 $ la conica è un'iperbole
Se $ Det|a|>0 $ la conica è un'ellisse.
Per calcolarti la forma canonica basta calcolare gli AUTOVALORI $l$ e $m$ e poi fai quanto segue:
Se la conica è ellisse o iperbole l'equazione sarà: $lx^2+my^2=c $ c sarà calcolato con $c=-(Det|Ao|)/(l*m) $ Per avere la forma canonica basta che sostituisci al posto di $l$ e $m$ gli autovalori che ti sei calcolato. Nota bene per $Det|Ao|$ intendo il determinante DELLA MATRICE COMPLETA che rappresenta una conicha, non il minore che usi per il calcolo degli autovalori.
Se la conica è una parabola l'equazione sarà: $my^2=2cx$ puoi notare che manca un autovalore poichè nella parabola un autovalore è sempre $0$ c sarà coalcolato con $c=sqrt(-(Det|Ao|)/(m)).
Basterà come nel caso precedente sostituire $m$ all'equazione ed avrai la forma canonica
Spero di esserti stato d'aiuto.
Ti allego il link con il file nel caso vuoi sapere di più, è tutto ben spiegato:
http://progettomatematica.dm.unibo.it/C ... frame2.htm
Scusa se rompo, ma ho ancora qualche problemino!!! Allora, sono andata avanti in questo modo:
$ (sqrt2y'-2)^2=-3(4/(sqrt2)x'+1) $
$ { ( X=4/(sqrt2)x'+1 ),( Y=sqrt2y'-2 ):} $ da cui ho $ Y^2=-3X $
$ Y^2=-3X{ ( x'=(sqrt2)/4X-(sqrt2)/4 ),( y'=Y/(sqrt2)+2/(sqrt2) ):} $ .
Ora so che dovrei metterlo con le altre matrici, ma negli esempi che ho visto X e Y erano sempre con coefficiente 1...
$ (sqrt2y'-2)^2=-3(4/(sqrt2)x'+1) $
$ { ( X=4/(sqrt2)x'+1 ),( Y=sqrt2y'-2 ):} $ da cui ho $ Y^2=-3X $
$ Y^2=-3X{ ( x'=(sqrt2)/4X-(sqrt2)/4 ),( y'=Y/(sqrt2)+2/(sqrt2) ):} $ .
Ora so che dovrei metterlo con le altre matrici, ma negli esempi che ho visto X e Y erano sempre con coefficiente 1...
aspetta un attimo non ti devi protare la conica in forma canonica?
Sì, esatto! E poi devo trovare vertice e asse della parabola!
"Vegastar":
Scusa se rompo, ma ho ancora qualche problemino!!! Allora, sono andata avanti in questo modo:
$ (sqrt2y'-2)^2=-3(4/(sqrt2)x'+1) $
$ { ( X=4/(sqrt2)x'+1 ),( Y=sqrt2y'-2 ):} $ da cui ho $ Y^2=-3X $
$ Y^2=-3X{ ( x'=(sqrt2)/4X-(sqrt2)/4 ),( y'=Y/(sqrt2)+2/(sqrt2) ):} $ .
Ora so che dovrei metterlo con le altre matrici, ma negli esempi che ho visto X e Y erano sempre con coefficiente 1...
Sì, dovresti raccogliere il coefficiente di $y'$ fuori dal quadrato: anche perchè, a rigore, quelle che hai scritto tu alla fine non sono equazioni di una traslazione (perchè cambiano anche l'unità di misura: insomma, sono dilatazioni/contrazioni degli assi)
e se ti devi trovare la forma canonica a cosa ti serve isolarti la $Y^2$ ? un attimo che ci provo io
Grazie, m4551, però vorrei capire prima il metodo "lungo"
Postami il risultato perfavore!
Scusate, ma adesso sono più confusa di prima. Come devo procedere per ottenere il risultato giusto? Non è il modo corretto di raccogliere quello? Come devo fare allora? Il risultato è $ Y^2=-3sqrt2X $ con $ ( ( x ),( y ) ) = ( ( 1/(sqrt2) , -1/(sqrt2) ),( 1/(sqrt2) , 1/(sqrt2) ) ) ( ( X ),( Y ) ) + ( ( -5/4 ),( 3/4 ) ) $
Per calcolarti questo risultato con il metodo "lungo" devi calcolarti gli AUTOVETTORI, li normalizzi e fino qua ci sei arrivata.
Adesso devi sostituire gli autovettori normalizzati nell'equazione iniziale della conica e svolgi tutti i calcoli.
Adesso devi sostituire gli autovettori normalizzati nell'equazione iniziale della conica e svolgi tutti i calcoli.
Sono riuscita a trovare la forma canonica! Ora devo sono più capire come arrivare alla scrittura che vi ho riportato dopo il risultato.
Scrivi la forma che hai trovato
Se sei arrivata a scrivere la forma canonica, allora hai anche le equazioni della traslazione, giusto?
Prova un po' a scrivere chi sono $X$ e $Y$ in funzione di $x'$ e $y'$...
Prova un po' a scrivere chi sono $X$ e $Y$ in funzione di $x'$ e $y'$...
$ 2(y'-sqrt2)^2=-12/(sqrt2)(x'+(sqrt2)/4) => (y'-sqrt2)^2=-2sqrt2(x'+(sqrt2)/4 $
$ { ( X=x'+(sqrt2)/4 ),( Y=y'-sqrt2 ):} $ $ Y^2=-3sqrt2X $ $ { ( x'=X-(sqrt2)/4 ),( y'=Y+sqrt2 ):} $ .
$ ( ( x ),( y ) )=P( ( x' ),( y' ) )=( ( 1/(sqrt2) , -1/(sqrt2) ),( 1/(sqrt2) , 1/(sqrt2) ) )[( ( X ),( Y ) )( ( -(sqrt2)/4 ),( sqrt2 ) )] $
E ora devo trovare il veritce e l'asse.
$ { ( X=x'+(sqrt2)/4 ),( Y=y'-sqrt2 ):} $ $ Y^2=-3sqrt2X $ $ { ( x'=X-(sqrt2)/4 ),( y'=Y+sqrt2 ):} $ .
$ ( ( x ),( y ) )=P( ( x' ),( y' ) )=( ( 1/(sqrt2) , -1/(sqrt2) ),( 1/(sqrt2) , 1/(sqrt2) ) )[( ( X ),( Y ) )( ( -(sqrt2)/4 ),( sqrt2 ) )] $
E ora devo trovare il veritce e l'asse.
"Vegastar":
$ 2(y'-sqrt2)^2=-12/(sqrt2)(x'+(sqrt2)/4) => (y'-sqrt2)^2=-2sqrt2(x'+(sqrt2)/4 $
$ { ( X=x'+(sqrt2)/4 ),( Y=y'-sqrt2 ):} $ $ Y^2=-3sqrt2X $ $ { ( x'=X-(sqrt2)/4 ),( y'=Y+sqrt2 ):} $ .
$ ( ( x ),( y ) )=P( ( x' ),( y' ) )=( ( 1/(sqrt2) , -1/(sqrt2) ),( 1/(sqrt2) , 1/(sqrt2) ) )[( ( X ),( Y ) )( ( -(sqrt2)/4 ),( sqrt2 ) )] $
Brava, quasi tutto giusto: fai attenzione, però alla fine che non hai un prodotto di matrici $2 times 1$, ma hai una somma
P.S. Il vertice e l'asse: idee?
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