Riduzione a forma canonica di una conica

[Vegastar]

Salve a tutti!
Un esercizio mi chiede di dimostrare che $ x^2-2xy+y^2+10x+2y+7=0 $ è una parabola e di trovare il vertice e l'asse.
Non ho avuto difficoltà a dimostrare che è una parabola. Poi ho trovato gli autovalori e i rispettivi autovettori di $ A-lambdaI=( ( 1-lambda , -1 ),( -1 , 1-lambda ) ) $ : $ lambda_1=0 $ , $ lambda_2=2 $ $ mlambda_1=mlambda_2=1 $ . Gli autovettori sono $ Vlambda_1=(1/(sqrt2) , 1/(sqrt2)) $ e $ Vlambda_2=(-1/(sqrt2) , 1/(sqrt2)) $ .
Quindi ho potuto trovare $ X=PX' =>$ $ ( ( x ),( y ) )=( ( 1/(sqrt2) , 1/(sqrt2) ),( 1/(sqrt2) , -1/(sqrt2) ) )( ( x' ),( y' ) ) $ .
Sostituendo a $ ((x, y))A( ( x ),( y ) ) + ( ( 10 , 2 ) )( (x),(y))+7=0 $ ottengo:
$ ((x', y'))( ( 0 , 0 ),( 0 , 2 ) )( ( x' ),( y' ) ) + ( ( 10 , 2 ) )( ( 1/(sqrt2) , 1/(sqrt2) ),( -1/(sqrt2) , 1/(sqrt2) ) )( (x'),(y'))+7=0 $ .
Ora però non so come continuare e gli appunti sono poco chiari. Potreste aiutarmi, per favore?

Ps: scusate se ho scritto lo svolgimento in modo un po' sommario, spero che riuscite a capire cosa ho fatto. In caso contrario chiedetemi pure

[Vegastar]

$ =( ( 1/(sqrt2) , - 1/(sqrt2) ),( 1/(sqrt2) , 1/(sqrt2) ) ) ( ( X ),( Y ) )+( ( -5/4 ),( 3/4 ) ) $ .
Il vertice è quindi $ V=(-5/4 , 3/4) $ .

Ora devo solo capire come trovare l'asse

[m45511]

Allora mi sa che stiamo facendo un po di confusione, portare la conica in forma canonica vuol dire che DEVE sparire il polinomio xy, in una sola Equazione.
Una volta che ti sei calcolata gli AUTOVETTORI li normalizzi.
Poi li metti trasposti in un sistema proprio come hai fatto, la prima rega del sistema equivale alla X', la seconda riga alle Y'.
Sostituisci X' e Y' nell'equazione della conica (quella che ti hanno dato all'inizio) e procedi con i calcoli.
In questo modo ti trovi la forma canonica e poi da quella ti calcoli Asse e vertice.

[Vegastar]

L'asse non capisco bene cosa sia. Se fosse l'asse di simmetria, il risultato sarebbe $x=-1/2$, ma il risultato dell'esercizio dà una equazione a due incognite: x-y+2=0. Come ci si arriva?

[Paolo902]

"m4551":Allora mi sa che stiamo facendo un po di confusione, portare la conica in forma canonica vuol dire che DEVE sparire il polinomio xy, in una sola Equazione.

Una conica (i.e. una forma quadratica) si dice ridotta in forma canonica quando la matrice ad essa associata è diagonale.
Come dici tu, far "sparire" il termine $xy$ è certamente il primo passo per questo, perchè diagonalizzi la matrice dei termini quadratici (geometricamente, ciò corrisponde a una rotazione del sistema di riferimento).

A volte, però, ciò non è ancora sufficiente: bisogna ancora traslare il sistema per arrivare a diagonalizzare anche $B$ (che è la matrice associata a tutta la conica): e questo lo si può fare, ad esempio, completando i quadrati.

Solo alla fine di questi due passaggi hai una conica (ammesso che non sia degenere!) scritta in forma canonica:

$X^2/a^2+Y^2/b^2=1$ (ellisse)
$X^2/a^2-Y^2/b^2=1$ (iperbole)
$Y^2=2pX$ (parabola)

Spero sia chiaro

[m45511]

Vegastar se vai sul sito che ti ho dato c'è la spiegazione conica per conica, compresi gli assi

[Vegastar]

Grazie a tutti e due! Siete stati molto gentili