Ricerca di matrici triangolari (non diagonali) simili ad $A$
E' un post un po' generale e sicuramente banale.
Premetto che purtroppo nei corsi di Algebra lineare o Geometria non mi sono mai trovato ad affrontare il problema della triangolarizzazione di una matrice, e so poche cose al riguardo.
Oggi in giro vedevo un esercizio che recita:
Stabilire se [tex]$B=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$[/tex] è simile ad una matrice triangolare non diagonale.
Ora, essendo $1$ e $-1$ le radici del polinomio caratteristico ho che è diagonalizzabile, ed il problema è questo.
Se non fosse stata diagonalizzabile ma avesse avuto le radici comunque reali, avrei finito (infatti è simile ad una triangolare che sono sicuro non è diagonale).
La domanda è: cosa possiamo dire del numero, tipo, varietà di matrici triangolari simili ad una matrice data?
Alla fine in questo caso (matrice 2x2) ancora ce la si cava anche con forza bruta, cercando $a,b,c,d,\alpha$ tali che
[tex]$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$[/tex]
avendo sfruttato il fatto noto che la triangolare ha sulla diagonale gli autovalori (e chiedendo che la matrice a,b,c,d è non singolare e $\alpha$ non nullo, pena avere una diagonale).
Ma per dimensioni maggiori diventa impraticabile.
E' un caso che l'esercizio mi interpellasse su una matrice piccola o c'è qualche risultato noto che non conosco e vale globalmente?
Grazie mille in anticipo per ogni intervento.
Premetto che purtroppo nei corsi di Algebra lineare o Geometria non mi sono mai trovato ad affrontare il problema della triangolarizzazione di una matrice, e so poche cose al riguardo.
Oggi in giro vedevo un esercizio che recita:
Stabilire se [tex]$B=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$[/tex] è simile ad una matrice triangolare non diagonale.
Ora, essendo $1$ e $-1$ le radici del polinomio caratteristico ho che è diagonalizzabile, ed il problema è questo.
Se non fosse stata diagonalizzabile ma avesse avuto le radici comunque reali, avrei finito (infatti è simile ad una triangolare che sono sicuro non è diagonale).
La domanda è: cosa possiamo dire del numero, tipo, varietà di matrici triangolari simili ad una matrice data?
Alla fine in questo caso (matrice 2x2) ancora ce la si cava anche con forza bruta, cercando $a,b,c,d,\alpha$ tali che
[tex]$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$[/tex]
avendo sfruttato il fatto noto che la triangolare ha sulla diagonale gli autovalori (e chiedendo che la matrice a,b,c,d è non singolare e $\alpha$ non nullo, pena avere una diagonale).
Ma per dimensioni maggiori diventa impraticabile.
E' un caso che l'esercizio mi interpellasse su una matrice piccola o c'è qualche risultato noto che non conosco e vale globalmente?
Grazie mille in anticipo per ogni intervento.
Risposte
Non ho molto tempo adesso e cercherò di recuperarlo a fine giornata: io userei la forma normale di Jordan per rispondere rapidamente al quesito!
In generale se una matrice M quadrata [tex]n \times n[/tex] ha autovalori a due a due distinti allora ogni matrice quadrata [tex]n \times n[/tex] con gli stessi autovalori e' simile a M. In altre parole tutte le matrici [tex]n \times n[/tex] con autovalori a due a due distinti sono diagonalizzabili. Questo e' un fatto di algebra lineare elementare: basta osservare che quando il polinomio caratteristico si spezza in fattori lineari distinti ogni molteplicita' geometrica coincide con quella algebrica. Questo dovrebbe rispondere alla tua domanda!
@Martino: da quanto ho capito Steven è interessato alla trianglarizzazione di matrici quadrate non diagonalizzabili!
Ah si', forse ho male interpretato la domanda.
Steven, come dice j18eos il problema di classificare le matrici per similitudine e' risolto nell'ambito della teoria di Jordan.
Steven, come dice j18eos il problema di classificare le matrici per similitudine e' risolto nell'ambito della teoria di Jordan.
Ora esprimo un dubbio: sul libro ove (ieri 14/X/2010) ho studiato il teorema della triangolarizzazione di una matrice quadrata in forma normale di Jordan, si considerano solo le matrici complesse: ma il teorema resta naturalmente valido anche per matrici a coefficienti in campi algebricamente chiusi?
"j18eos":Si' basta che il campo sia algebricamente chiuso.
Ma il teorema resta naturalmente valido anche per matrici a coefficienti in campi algebricamente chiusi?
Sentiamo se Steven si sbilancia sulla struttura del campo base
Scusate il ritardo.
Ringrazio j18eos per aver interpretato bene la mia domanda.
La risposta è quindi nella teoria di Jordan, che purtroppo non è mai stata trattata nei corsi da me seguiti.
Vedrò di sopperire da solo a questa lacuna.
@Martino: no, in realtà non puntavo ad un campo particolare, era una domanda abbastanza generica.
Se dovessero venirmi dubbi nello studio di Jordan, semmai userò questo topic.
Grazie mille come al solito, a presto.
Ringrazio j18eos per aver interpretato bene la mia domanda.
La risposta è quindi nella teoria di Jordan, che purtroppo non è mai stata trattata nei corsi da me seguiti.
Vedrò di sopperire da solo a questa lacuna.
@Martino: no, in realtà non puntavo ad un campo particolare, era una domanda abbastanza generica.
Se dovessero venirmi dubbi nello studio di Jordan, semmai userò questo topic.
Grazie mille come al solito, a presto.
Esagerato col ringraziamento.
Prego, di nulla!
Prego, di nulla!
"Steven":
La risposta è quindi nella teoria di Jordan, che purtroppo non è mai stata trattata nei corsi da me seguiti.
Vedrò di sopperire da solo a questa lacuna.
"Steven":
La risposta è quindi nella teoria di Jordan, che purtroppo non è mai stata trattata nei corsi da me seguiti.
Vedrò di sopperire da solo a questa lacuna.
Mi pare che senza usare Jordan si possa comunque risolvere il problema per le matrici diagonalizzabili: se [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] sono due matrici diagonalizzabili "allo stesso modo" (più precisamente: se [tex]det(A-\lambda I)=det(B-\lambda I)[/tex] e per ogni radice [tex]\lambda[/tex] vale [tex]m_{\mbox{alg}}(\lambda)=\mbox{dim } \mbox{Ker} (A-\lambda I)=\mbox{dim } \mbox{Ker} (B-\lambda I)[/tex]), allora sono entrambe simili a una stessa matrice (diagonale), e dunque sono simili.
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