Ricavare un'applicazione lineare
Altro quesito:
Sia f:R3--->R3 l'applicazione lineare tale che (2;1;-1)є Ker(f); (1;1;1) è autovettore con autovalore 2; f(0;-1;1) = (7;2;4).
Come ne ricavo l'applicazione lineare nella sua interezza?
Stavolta non ho proprio idee di sorta!
Grazie a tutti
Sia f:R3--->R3 l'applicazione lineare tale che (2;1;-1)є Ker(f); (1;1;1) è autovettore con autovalore 2; f(0;-1;1) = (7;2;4).
Come ne ricavo l'applicazione lineare nella sua interezza?
Stavolta non ho proprio idee di sorta!
Grazie a tutti
Risposte
Cosa intendi per interezza? Una volta definita l'immagine dei vettori di una base rispetto ad $f$ hai già l'applicazione...
Se ho capito bene vuoi la funzione esplicita (il sistemino??), Ti basta mettere a sistema le condizioni con coefficienti incogniti.
Io agirei in questo modo, posta A matrice associata alla funzione (con coefficienti naturalmente incogniti) so che:
1)$(A_(3x3))((2),(1),(-1)) = ((0),(0),(0))$
2)$(A_(3x3))((1),(1),(1)) = ((2),(2),(2))$
1)$(A_(3x3))((0),(-1),(1)) = ((7),(2),(4))$
Queste sono 3x3 = 9 equazioni in 9 incognite quindi (se non ci sono problemi) ti dovrebbero dare la matrice A associata alla funzione, dalal quale puoi tranquillamente trovarti la forma $f((x_1),(x_2),(x_3)) -> ((y_1),(y_2),(y_3))
Io agirei in questo modo, posta A matrice associata alla funzione (con coefficienti naturalmente incogniti) so che:
1)$(A_(3x3))((2),(1),(-1)) = ((0),(0),(0))$
2)$(A_(3x3))((1),(1),(1)) = ((2),(2),(2))$
1)$(A_(3x3))((0),(-1),(1)) = ((7),(2),(4))$
Queste sono 3x3 = 9 equazioni in 9 incognite quindi (se non ci sono problemi) ti dovrebbero dare la matrice A associata alla funzione, dalal quale puoi tranquillamente trovarti la forma $f((x_1),(x_2),(x_3)) -> ((y_1),(y_2),(y_3))
"enpires":
...
Io agirei in questo modo, posta A matrice associata alla funzione (con coefficienti naturalmente incogniti) so che:
1)$(A_(3x3))((2),(1),(-1)) = ((0),(0),(0))$
2)$(A_(3x3))((1),(1),(1)) = ((2),(2),(2))$
1)$(A_(3x3))((0),(-1),(1)) = ((7),(2),(4))$
Queste sono 3x3 = 9 equazioni in 9 incognite quindi (se non ci sono problemi) ti dovrebbero dare la matrice A associata alla funzione, dalal quale puoi tranquillamente trovarti la forma $f((x_1),(x_2),(x_3)) -> ((y_1),(y_2),(y_3))
Il tuo metodo è detto "forza bruta"..
Io farei un cambio di base.
"Injo":
Cosa intendi per interezza? Una volta definita l'immagine dei vettori di una base rispetto ad $f$ hai già l'applicazione...
Si vorrei il "sistemino" che mi definisce l'applicazione.
@franced: ovviamente mi interessano tutti i metodi risolutivi, devo applicarli ad un esame quindi prediligerei il più rapido e il meno soggetto a errori. Mi spiegheresti anche il metodo del cambio di base che suggerisci? Grazie.
Grazie ancora a tutti!
Edit: con il metodo "forza bruta"
ho ricavato la matrice A dal sistema:( 2 ; 1 ; -1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ) = 0
( 0 ; 0 ; 0 ; 2 ; 1 ; -1 ; 0 ; 0 ; 0 ) = 0
( 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 2 ; 1 ; -1 ) = 0
( 1 ; 1 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ) = 2
( 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 1 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ) = 2
( 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 1 ; 1 ) = 2
( 0 ; -1 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ) = 7
( 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; -1 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ) = 2
( 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; -1 ; 1 ) = 4
risolvo il sistema e trovo A associata all'applicazione:
( 7/2 ; -7 ; 11/2 )
( 1 ;-1/2; 3/2 )
( 2 ; -2 ; 2 )
Ho fatto errori? Il ragionamento dovrebbe essere giusto a quanto vedo, attendo chiarimenti sul metodo del cambio di base!
Sono interessato anche io all'altro metodo 
problemi del genere non ne ho mai affrontati, quindi ho risposto sulla base di come avrei fatto io (effettivamente mi rendo conto che al crescere della dim dello sp vett su cui è definita l'applicazione mi sa che escono fuori troppi sistemini e troppe incognite...)
problemi del genere non ne ho mai affrontati, quindi ho risposto sulla base di come avrei fatto io (effettivamente mi rendo conto che al crescere della dim dello sp vett su cui è definita l'applicazione mi sa che escono fuori troppi sistemini e troppe incognite...)
"Zerogwalur":
Sia f:R3--->R3 l'applicazione lineare tale che (2;1;-1)є Ker(f); (1;1;1) è autovettore con autovalore 2; f(0;-1;1) = (7;2;4).
Come ne ricavo l'applicazione lineare nella sua interezza?
Prendiamo la base $((2),(1),(-1))$, $((1),(1),(1))$, $((0),(-1),(1))$;
se scriviamo l'applicazione lineare rispetto a tale base si ha che:
il primo vettore ha come immagine $((0),(0),(0))$;
il secondo vettore ha come immagine $((0),(2),(0))$
(infatti $((1),(1),(1))$ è autovettore con autovalore $2$; si osservi
inoltre che il "2" è stato messo al secondo posto in quanto $((1),(1),(1))$
è il secondo vettore della base);
il terzo vettore ha come immagine $((2),(3),(3))$
(infatti il vettore $((7),(2),(4))$ può essere scritto così:
$((7),(2),(4)) = 2 ((2),(1),(-1)) + 3 ((1),(1),(1)) + 3 ((0),(-1),(1))$).
Quindi la matrice che rappresenta $f$ rispetto alla base considerata
è semplicemente
$A' = ((0,0,2),(0,2,3),(0,0,3))$.
Se poi vogliamo la matrice che rappresenta $f$ rispetto alla base canonica
basta operare così:
$((2,1,0),(1,1,-1),(-1,1,1)) * ((0,0,2),(0,2,3),(0,0,3)) * ((2,1,0),(1,1,-1),(-1,1,1)) ^(-1)$
si ottiene in definitiva:
$A=((7/2,-17/4,11/4),(1,-1/2,3/2),(2,-2,2)) $ .
"Zerogwalur":
...
risolvo il sistema e trovo A associata all'applicazione:
( 7/2 ; -7 ; 11/2 )
( 1 ;-1/2; 3/2 )
( 2 ; -2 ; 2 )
La matrice non è uguale a quella che ho trovato io.
Se fai i calcoli vedi che non è giusta:
sono errati il secondo e il terzo termine della prima riga.
Quello che voglio dire, in ogni caso, è questo:
è bene mettersi in una base opportuna e poi analizzare
l'applicazione lineare traducendo nelle nuove coordinate
tutte le informazioni che sono assegnate dal problema.
Non so se avete capito la mia idea..
è bene mettersi in una base opportuna e poi analizzare
l'applicazione lineare traducendo nelle nuove coordinate
tutte le informazioni che sono assegnate dal problema.
Non so se avete capito la mia idea..
@franced: grazie per il suggerimento e la spiegazione, mi sei stato molto utile! Tra l'altro hai ragione, ho rifatto i calcoli e avevo sbagliato la b e la c nel sistema a 9eq-9inc, che tornano come hai detto tu.
Grazie ancora a tutti per l'aiuto!
Grazie ancora a tutti per l'aiuto!
"Zerogwalur":
@franced: grazie per il suggerimento e la spiegazione, mi sei stato molto utile! Tra l'altro hai ragione, ho rifatto i calcoli e avevo sbagliato la b e la c nel sistema a 9eq-9inc, che tornano come hai detto tu.
Grazie ancora a tutti per l'aiuto!
Figurati, devo fare esercizi analoghi ai miei studenti!
Franced ho capito benissimo Non ci avevo minimamente pensato ad una cosa del genere... Solo mi chiedo una cosa
Per sapere che quei tre vettori (in pratica quelli che ti dava il problema) sono una base come hai fatto? hai dovuto calcolare il determinante? Perchè pensavo, se non sono linearmente indipendenti (e quindi non una base) non possono mica dirti tutta l'applicaziona cosa fa??
Non ci avevo minimamente pensato ad una cosa del genere... Solo mi chiedo una cosaPer sapere che quei tre vettori (in pratica quelli che ti dava il problema) sono una base come hai fatto? hai dovuto calcolare il determinante? Perchè pensavo, se non sono linearmente indipendenti (e quindi non una base) non possono mica dirti tutta l'applicaziona cosa fa??
"enpires":
Franced ho capito benissimo
Per sapere che quei tre vettori (in pratica quelli che ti dava il problema) sono una base come hai fatto? hai dovuto calcolare il determinante? Perchè pensavo, se non sono linearmente indipendenti (e quindi non una base) non possono mica dirti tutta l'applicaziona cosa fa??
Guarda questo esempio:
$f ((1),(0),(0)) = ((1),(0),(0))$
$f((0),(1),(1)) = ((-3),(2),(7))$
$f((1),(1),(1)) = ((1),(5),(-10))$
è possibile secondo te (con $f$ lineare, ovviamente)?
Beh se ricordo bene, siccome la 3 è f(v1+v2), dovrebbe darmi f(v1) + f(v2) no?
Però purtroppo non ho capito il nesso
Però purtroppo non ho capito il nesso
"enpires":
Beh se ricordo bene, siccome la 3 è f(v1+v2), dovrebbe darmi f(v1) + f(v2) no?
Però purtroppo non ho capito il nesso
Guarda quest'altro esempio:
$f((1),(0),(0)) = ((1),(1),(1))$
$f((0),(1),(0)) = ((1),(-2),(6))$
$f((1),(1),(0)) = ((2),(-1),(7))$
in questo caso la terza informazione è inutile (è ridondante in quanto $f$ è lineare).
Quello che voglio farti capire è che prima di tutto i dati del problema devono
essere compatibili con la linearità (spesso e volentieri uno parte spedito e magari
si vedeva subito che era impossibile..).
Se i tre vettori che ti vengono dati sono lin. dipendenti un'informazione è da scartare e lavori
con le altre due.
A quel punto trovi infinite applicazioni lineari (sempre ammesso che le informazioni
siano compatibili).
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