Rette per P parallele ad alfa
Non ho idee su come risolvere questo problema.
In $R^3$, sono dati il punto $P(2,2,0)$ ed il piano $\alpha: x + y - z = 0$
determinare
le rette per P parallele ad $\alpha$.
ecco il mio ragionamento
In $R^3$, dato un piano e un punto esterno ad esso, per quel punto passano INFINITE rette parallele al piano dato (correggetemi se sbaglio)
dunque, mi chiedo, devo determinare l'equazione del fascio di rette parallele al piano??
Se sì, come??? 
non avendo la benchè minima idea su come fare, ho pensato di trovare due rette parallele al piano in tal modo, ma non so se è un ragionamento adeguato nè se i calcoli sono corretti!
Ho cercato le due rette a partire dai vettori di direzione che individuano il piano, quindi l'ho trascritto in forma parametrica (dovrebbe essere questo, perdonate l'ignoranza)
$\alpha:$$\{(x = t),(y = -t +s),(z = s):}$
$\vec v_1 = (1, -1, 0)$
$\vec v_2 = (0, 1, 1)$
perciò non so se è corretto pensare di scrivere le due rette in tal modo imponendo il passaggio per il punto P e considerando i vettori di direzione di $\alpha:$ come possibili vettori di direzione delle rette. Spero di essermi espresso in modo comprensibile xD
$r_1:$$\{(x = t + 2),(y = -t +2),(z = 0):}$
$r_2:$$\{(x = 2),(y = t +2),(z = t):}$
Spero di essermi espresso in modo comprensibile e di non aver scritto certe boiate assurde xD
In $R^3$, sono dati il punto $P(2,2,0)$ ed il piano $\alpha: x + y - z = 0$
determinare
le rette per P parallele ad $\alpha$.
ecco il mio ragionamento
In $R^3$, dato un piano e un punto esterno ad esso, per quel punto passano INFINITE rette parallele al piano dato (correggetemi se sbaglio)
dunque, mi chiedo, devo determinare l'equazione del fascio di rette parallele al piano??
Se sì, come??? non avendo la benchè minima idea su come fare, ho pensato di trovare due rette parallele al piano in tal modo, ma non so se è un ragionamento adeguato nè se i calcoli sono corretti!
Ho cercato le due rette a partire dai vettori di direzione che individuano il piano, quindi l'ho trascritto in forma parametrica (dovrebbe essere questo, perdonate l'ignoranza)
$\alpha:$$\{(x = t),(y = -t +s),(z = s):}$
$\vec v_1 = (1, -1, 0)$
$\vec v_2 = (0, 1, 1)$
perciò non so se è corretto pensare di scrivere le due rette in tal modo imponendo il passaggio per il punto P e considerando i vettori di direzione di $\alpha:$ come possibili vettori di direzione delle rette. Spero di essermi espresso in modo comprensibile xD
$r_1:$$\{(x = t + 2),(y = -t +2),(z = 0):}$
$r_2:$$\{(x = 2),(y = t +2),(z = t):}$
Spero di essermi espresso in modo comprensibile e di non aver scritto certe boiate assurde xD
Risposte
Individuare i vettori $v,w$ che generano il piano $\alpha$ è la mossa giusta. Le rette, come hai detto tu, saranno infinite. In particolare, ogni retta di questo genere avrà vettore direzione che è una combinazione lineare di $v,w$ e passerà per il punto $P$. Dovresti quindi ritrovarti un'equazione cartesiana con due parametri liberi.
Le due rette che hai trovato tu sono solo 2 possibilità.
Paola
Le due rette che hai trovato tu sono solo 2 possibilità.
Paola
perdonatemi ma non so proprio dove andare a sbattere la testa!!
ho pensato di considerare il prodotto scalare dei vettori di direzione $\vec v_1 = (1, -1, 0)$ e $\vec v = (l, m, n)$ da porre uguale a zero, ma non penso sia una mossa intelligente xD
Non ho idea di come fare...per favore aiutatemi
ho pensato di considerare il prodotto scalare dei vettori di direzione $\vec v_1 = (1, -1, 0)$ e $\vec v = (l, m, n)$ da porre uguale a zero, ma non penso sia una mossa intelligente xD
Non ho idea di come fare...per favore aiutatemi
Io ragionerei così: tutte queste rette si troveranno, di sicuro, su un piano parallelo ad $\alpha$ passante per $P$ (che puoi trovare facilemente). A questo punto, per determinare una generica retta, basta trovare un secondo piano, passante per $P$ e perpendicolare al piano $\alpha$ (quindi che contenga il suo vettore normale): l'intersezione di questi due piani è, di volta in volta, una delle rette cercate.
e a cosa mi serve il piano perpendicolare ad alfa adesso???
e tra parentesi, come si trova???xD
e tra parentesi, come si trova???xD
"fhabbio":
perdonatemi ma non so proprio dove andare a sbattere la testa!!
ho pensato di considerare il prodotto scalare dei vettori di direzione $\vec v_1 = (1, -1, 0)$ e $\vec v = (l, m, n)$ da porre uguale a zero, ma non penso sia una mossa intelligente xD
Non ho idea di come fare...per favore aiutatemi
Perchè non provi a seguire il suggerimento di Paola (*) e fai le prime considerazioni.
Individuare due vettori che stanno su $\alpha$.
Come facciamo ? Boh, non lo so, vedo di inventarmi qualcosa magari sono fortunato e trovo un metodo.
Riesco a trovare due punti diversi che stanno su $\alpha$ ?
E' facile no ?
Adesso che hai due punti (A e B)come fare per trovare il vettore che va da A a B ?
Anche questo è facile , no?
Abbiamo trovato un vettore di $\alpha$ ?
Bene trova un secondo vettore.....poi , cosa fai ?
(*) Anche quello di ciampax va benissimo ma diamo la precedenza alle signore
.
"Quinzio":
[quote="fhabbio"]perdonatemi ma non so proprio dove andare a sbattere la testa!!
ho pensato di considerare il prodotto scalare dei vettori di direzione $\vec v_1 = (1, -1, 0)$ e $\vec v = (l, m, n)$ da porre uguale a zero, ma non penso sia una mossa intelligente xD
Non ho idea di come fare...per favore aiutatemi
Perchè non provi a seguire il suggerimento di Paola (*) e fai le prime considerazioni.
Individuare due vettori che stanno su $\alpha$.
Come facciamo ? Boh, non lo so, vedo di inventarmi qualcosa magari sono fortunato e trovo un metodo.
Riesco a trovare due punti diversi che stanno su $\alpha$ ?
E' facile no ?
Adesso che hai due punti (A e B)come fare per trovare il vettore che va da A a B ?
Anche questo è facile , no?
Abbiamo trovato un vettore di $\alpha$ ?
Bene trova un secondo vettore.....poi , cosa fai ?
(*) Anche quello di ciampax va benissimo ma diamo la precedenza alle signore
.[/quote]ma non vanno già bene i 2 vettori di direzione?
a che serve trovare 2 punti su alfa se a me interessano le rette passanti per P parallele ad alfa??
E quali sono questi due vettori ?
l'ho già scritto nel primo post...
ho riscritto il piano in forma parametrica e da qui ho considerato i vettori di direzione
$\alpha:$$\{(x = t),(y = -t +s),(z = s):}$
$\vec v_1 = (1, -1, 0)$
$\vec v_2 = (0, 1, 1)$
ma ora la mia domanda resta...
a cosa mi serve trovare 2 punti su alfa se a me interessano le rette passanti per P parallele ad alfa??
ho riscritto il piano in forma parametrica e da qui ho considerato i vettori di direzione
$\alpha:$$\{(x = t),(y = -t +s),(z = s):}$
$\vec v_1 = (1, -1, 0)$
$\vec v_2 = (0, 1, 1)$
ma ora la mia domanda resta...
a cosa mi serve trovare 2 punti su alfa se a me interessano le rette passanti per P parallele ad alfa??
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