Retta tangente e piano normale a una curva
Ciao a tutti, stavolta mi sono inceppato in questo esercizio:
innanzitutto devo trovare la retta tangente. Questo posso ottenerlo derivando il vettore dato ottenendo così il vettore velocità. Ora però devo far passare tale vettore nel punto dato, ottenendo così la retta. So che le componenti del vettore che descrive il punto P vengono calcolate sostituendo i valori di t nel vettore velocità. Nella fattispecie ho notato che un mio compagno l'ha calcolato nei suoi vecchi appunti sostituendo a t il valore 2. perchè? è giusto?
x0,y0,z0 invece come li trovo?
per quanto riguarda il piano normale mi sembra che devo prendere il vettore trovato e inserirlo nell'equazione del piano, dico giusto?
grazie mille in anticipo..
desperados
Risposte
Evidentemente $P=(2,4,8)$ proviene dal valore $t=2$ del parametro corrente che descrive la curva $\stackrel{->}{r}(t)=(t,t^2,t^3)$; detto in altre parole $t=2$ è l'unica soluzione del sistema:
$\{(t=2),(t^2=4),(t^3=8):}$
che esprime la relazione d'appartenenza di $P$ al sostegno della curva $\stackrel{->}{r}(t)$.
Il campo di vettori tangenti alla curva è quello di componenti $\stackrel{->}{r}'(t)=(1,2t,3t^2)$ (che si ottiene derivando la r.p. $\stackrel{->}{r}(t)$), quindi il vettore tangente alla tua curva nel punto $P$ si ottiene sostituendo $t=2$ in $\stackrel{->}{r}'(t)$: così facendo ottieni:
$\stackrel{->}{v}=\stackrel{->}{r}'(2)=(1,4,12)$.
La retta che passa per $P$ ed ha direzione $\stackrel{->}{v}$ ha equazione vettoriale parametrica $P+s*\stackrel{->}{v}$, ossia:
$\{(x=2+s),(y=4+4 s),(z=8+12 s):}$
in forma scalare, col parametro $s in RR$.
L'equazione del piano normale alla curva nel punto lo trovi facilmente con la formula che dà l'equazione cartesiana del piano normale alla direzione $\stackrel{->}{v}$ passante per $P$, cioè:
$1*(x-2)+4*(y-4)+12*(z-8)=0 quad$, cioè $quad x+4y+12z-114=0$.
$\{(t=2),(t^2=4),(t^3=8):}$
che esprime la relazione d'appartenenza di $P$ al sostegno della curva $\stackrel{->}{r}(t)$.
Il campo di vettori tangenti alla curva è quello di componenti $\stackrel{->}{r}'(t)=(1,2t,3t^2)$ (che si ottiene derivando la r.p. $\stackrel{->}{r}(t)$), quindi il vettore tangente alla tua curva nel punto $P$ si ottiene sostituendo $t=2$ in $\stackrel{->}{r}'(t)$: così facendo ottieni:
$\stackrel{->}{v}=\stackrel{->}{r}'(2)=(1,4,12)$.
La retta che passa per $P$ ed ha direzione $\stackrel{->}{v}$ ha equazione vettoriale parametrica $P+s*\stackrel{->}{v}$, ossia:
$\{(x=2+s),(y=4+4 s),(z=8+12 s):}$
in forma scalare, col parametro $s in RR$.
L'equazione del piano normale alla curva nel punto lo trovi facilmente con la formula che dà l'equazione cartesiana del piano normale alla direzione $\stackrel{->}{v}$ passante per $P$, cioè:
$1*(x-2)+4*(y-4)+12*(z-8)=0 quad$, cioè $quad x+4y+12z-114=0$.
ok grazie mille| 
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