Retta passante per un punto e incidente 2 rette
Ciao!
Ho fatto questo altro esercizio.
Penso sia giusto il ragionamento però la soluzione che mi dà è un po' strana, cmq...
Ho proceduto così:
Ho scritto le 2 rette in forma parametrica ottenendo così i punti parametrici $P_r_1=P_r_1(-1+t,t,0)$ e $P_r_2=P_r_2(-2+s,s,2-s)$
Poi ho scritto l'equazione della retta passante per $P$ e $P_r_1$ che facendo i conti è ${((x(t-1)+y(2-t)-1=0),(y+z(t-1)-t=0))$
Poichè la retta che cerco non deve passare solo per $P$ e $P_r_1$ ma anche per $P_r_2$ devo imporre che anche $P_r_2$ sia soluzione della retta trovata prima e quindi sostituisco le coordinate di $P_r_2$ in x, y e z dell'equazione trovata prima.
In questo modo ottengo un sistema di 2 equazioni e 2 incognite e facendo i conti ricavo 2 valori per $t$ e 2 per $s$ che chiamo rispettivametne $t_1$,$t_2$ e $s_1$,$s_2$ i valori.
Dopodiche vado a sostituire i valori di t ed s trovati nelle rispettive rette ottenendo di fatto i due punti allineati fra di loro e anche con $P$. Allora poi scrivo l'equazione della retta passante per $P$ e $P_r_1$(ovviamente con $P_r_1$ non più scritto in forma parametrica) e ottengo la retta.
Se poi scrivo l'equazione della retta passante per $P_r_2$ e $P_r_1$ avrò una coppia di piani diversa dalla prima che si intersecano ma alla fine dovrebbe essere la stessa retta(per una retta passano infiniti piani).
Ok ora vi dico che i valori di t e s che sfrutto sono $t=2$ ed s=$-3$ e la retta che ottengo è ${((x-1=0),(y+z-2=0))$, oppure ${((2x-3y+1=0),(y+z-2=0))$.
Il professore però scrive un altro risultato che è$ {((x-y-z+1=0),(y+z-2=0))$
Ora però non so da dove se l’è ricavato….cioè può essere che alla fine sia la stessa retta trovata da me per quello che dicevo prima però come faccio a capirlo?
Grazie
Ho fatto questo altro esercizio.
Penso sia giusto il ragionamento però la soluzione che mi dà è un po' strana, cmq...
Si scrivano le equazioni cartesiane della retta $r$ $in$ $E^3$ passante per il punto $P=P(1,1,1)$ e incidente le rette $r_1:{((x-y+1=0),(z=0))$ e $r_2:{((x-y+2=0),(x+z=0))
Ho proceduto così:
Ho scritto le 2 rette in forma parametrica ottenendo così i punti parametrici $P_r_1=P_r_1(-1+t,t,0)$ e $P_r_2=P_r_2(-2+s,s,2-s)$
Poi ho scritto l'equazione della retta passante per $P$ e $P_r_1$ che facendo i conti è ${((x(t-1)+y(2-t)-1=0),(y+z(t-1)-t=0))$
Poichè la retta che cerco non deve passare solo per $P$ e $P_r_1$ ma anche per $P_r_2$ devo imporre che anche $P_r_2$ sia soluzione della retta trovata prima e quindi sostituisco le coordinate di $P_r_2$ in x, y e z dell'equazione trovata prima.
In questo modo ottengo un sistema di 2 equazioni e 2 incognite e facendo i conti ricavo 2 valori per $t$ e 2 per $s$ che chiamo rispettivametne $t_1$,$t_2$ e $s_1$,$s_2$ i valori.
Dopodiche vado a sostituire i valori di t ed s trovati nelle rispettive rette ottenendo di fatto i due punti allineati fra di loro e anche con $P$. Allora poi scrivo l'equazione della retta passante per $P$ e $P_r_1$(ovviamente con $P_r_1$ non più scritto in forma parametrica) e ottengo la retta.
Se poi scrivo l'equazione della retta passante per $P_r_2$ e $P_r_1$ avrò una coppia di piani diversa dalla prima che si intersecano ma alla fine dovrebbe essere la stessa retta(per una retta passano infiniti piani).
Ok ora vi dico che i valori di t e s che sfrutto sono $t=2$ ed s=$-3$ e la retta che ottengo è ${((x-1=0),(y+z-2=0))$, oppure ${((2x-3y+1=0),(y+z-2=0))$.
Il professore però scrive un altro risultato che è$ {((x-y-z+1=0),(y+z-2=0))$
Ora però non so da dove se l’è ricavato….cioè può essere che alla fine sia la stessa retta trovata da me per quello che dicevo prima però come faccio a capirlo?
Grazie
Risposte
ciao non ho letto la tua soluzione.. (sto uscendo.. )
io farei cosi:
fai il fascio di piani per r1 e trovi quello che passa anche per P
fai il fascio di piani per la retta r2 e trovi di nuovo quello che passa per p
l'intersezione di questi due piani ti daranno la retta cercata..
(suppongo siano sghembe.. se no sarebbe banale..
)
ciaoo
io farei cosi:
fai il fascio di piani per r1 e trovi quello che passa anche per P
fai il fascio di piani per la retta r2 e trovi di nuovo quello che passa per p
l'intersezione di questi due piani ti daranno la retta cercata..
(suppongo siano sghembe.. se no sarebbe banale..
)ciaoo
Incredibile......cioè io ci sono stato più di mezzora per pensare alla mia soluzione e tu in 4 e 4 8 l'hai risolto e in più è un metodo che lo fa risolvere in 4 e 4 8 pure a me!!O.o
E poi non ci avevo pensato che erano sghembe....cioè non sono manco andato a controllarlo.....cmq va bene è la strada più immediata senza ombra di dubbio! Comunque vorrei sapere poi se possibile anche se la strada se ho percorso io è accettabile o meno!Per sapere quantomeno se quell'ora che ho impiegato a fare questa richiesta l'ho buttata o noXD
Ah e comunque se le rette sono complanari e il punto $P$ si trova nel loro stesso piano chiaramente le rette passanti per $P$ e incidenti le rette sono infinite giusto? Lì diciamo che sarebbe il fascio di rette per $P$ tali da appartenere al piano su cui giacciono il punto e le rette.
E poi non ci avevo pensato che erano sghembe....cioè non sono manco andato a controllarlo.....cmq va bene è la strada più immediata senza ombra di dubbio! Comunque vorrei sapere poi se possibile anche se la strada se ho percorso io è accettabile o meno!Per sapere quantomeno se quell'ora che ho impiegato a fare questa richiesta l'ho buttata o noXD
Ah e comunque se le rette sono complanari e il punto $P$ si trova nel loro stesso piano chiaramente le rette passanti per $P$ e incidenti le rette sono infinite giusto? Lì diciamo che sarebbe il fascio di rette per $P$ tali da appartenere al piano su cui giacciono il punto e le rette.
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