Retta passante per baricentro

[thedarkhero]

Si consideri nello spazio affine di dimensione 4 su $RR$ la pù piccola sottovarietà lineare contenente i punti $((0),(0),(-3),(1))$,$((1),(1),(0),(1))$,$((1),(0),(2),(1))$,$((0),(1),(1),(1))$.
Si tratta della sottovarietà lineare $((0),(0),(-3),(1))+<((1),(1),(3),(0)),((1),(0),(5),(0)),((0),(1),(4),(0))>$.
Il suo baricentro è $((1/2),(1/2),(0),(1))$.
Come posso determinare una retta passante per il baricentro ma che non intersechi nessuna faccia del poligono che ha per vertici i quattro punti descritti sopra?

[cirasa]

Non so perchè, ma ho l'impressione che si tratti della retta della retta passante per il baricentro e avente come vettore direttore il vettore $v$ che completa $((1),(1),(3),(0)),((1),(0),(5),(0)),((0),(1),(4),(0))$ ad una base di $RR^4$.
Prova e facci sapere.

[thedarkhero]

Esattamente, è $((0),(0),(0),(1))$.
Ma perchè è così?
L'ho verificato mettendo a sistema le equazioni della sottovarietà lineare quelle di questa retta e ottenendo come unico risultato il baricentro ma non mi è chiaro perchè questa cosa funziona

[cirasa]

Pensa allo spazio tridimensionale [tex]\mathbb{A}_3[/tex].
Risolviamo il problema in questo caso con tre punti [tex]A,B,C[/tex] affinemente indipendenti. Per semplicità supponiamo che essi siano sul piano [tex]xy[/tex].
Essi formano un triangolo.
Quale può essere una retta passante per il baricentro del triangolo e che non interseca i lati del triangolo?
Mah, la prima che mi viene in mente è quella passante per il baricentro e che "esce" dal piano [tex]xy[/tex], per esempio con direzione parallela all'asse [tex]z[/tex].
E che cosa ha questa direzione di così particolare? Il fatto che questa direzione "completa" lo spazio direttore del piano [tex]xy[/tex] a tutto lo spazio [tex]\mathbb{R}^3[/tex].
Generalizzando al caso di uno spazio affine di dimensione [tex]4[/tex] ho ottenuto l'idea.
Poi ho lasciato a te il compito di verificare che l'idea fosse proprio quella giusta