Retta parallela ad un piano, sghemba con r e s
Salve a tutti, vorrei avere per favore un aiuto su quest'esercizio:
Considerata la retta $r$: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} 2x-t=0 &\\ 3z+2y=1 &\\ x+y=-1 & \end{array}\right.\)
Determinare
a) una retta $s$ e un piano $pi$, entrambi ortogonali a $r$ ed aventi $(0, 0, -1, 1)$ come unico punto in comune
b) una retta $q$ parallela a $pi$, sghemba con r e s
Ora per il punto a credo di averlo risolto bene (o almeno spero, anche se non sono sicuro) eseguendo i seguenti passaggi:
Ho trovato prima il piano \(\displaystyle pi\perp r \)
Siccome i numeri direttori di $r$ risultano essere da \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} t=2a &\\ x=a &\\ y=-1-a &\\z=1+2/3 a & \end{array}\right.\) $(2, 1, -1, 2/3)$
il piano \(\displaystyle pi\perp r \) sarà $2t+x-y+2/3 z-5/3=0$
mentre la retta \(\displaystyle s\perp r \) mi trovo omettendo i calcoli (anche perché credo sia sbagliata)
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} y=-1 &\\z=1 & \end{array}\right.\)
Per il punto b non ho proprio idea di come fare, so solo che \(\displaystyle q\parallel pi \) se la loro intersezione è nulla e che le rette $r$ e $s$ saranno sghembe a $q$ se intersecate con $q$daranno intersezione nulla e che non devono essere parallele a $q$
Considerata la retta $r$: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} 2x-t=0 &\\ 3z+2y=1 &\\ x+y=-1 & \end{array}\right.\)
Determinare
a) una retta $s$ e un piano $pi$, entrambi ortogonali a $r$ ed aventi $(0, 0, -1, 1)$ come unico punto in comune
b) una retta $q$ parallela a $pi$, sghemba con r e s
Ora per il punto a credo di averlo risolto bene (o almeno spero, anche se non sono sicuro) eseguendo i seguenti passaggi:
Ho trovato prima il piano \(\displaystyle pi\perp r \)
Siccome i numeri direttori di $r$ risultano essere da \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} t=2a &\\ x=a &\\ y=-1-a &\\z=1+2/3 a & \end{array}\right.\) $(2, 1, -1, 2/3)$
il piano \(\displaystyle pi\perp r \) sarà $2t+x-y+2/3 z-5/3=0$
mentre la retta \(\displaystyle s\perp r \) mi trovo omettendo i calcoli (anche perché credo sia sbagliata)
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} y=-1 &\\z=1 & \end{array}\right.\)
Per il punto b non ho proprio idea di come fare, so solo che \(\displaystyle q\parallel pi \) se la loro intersezione è nulla e che le rette $r$ e $s$ saranno sghembe a $q$ se intersecate con $q$daranno intersezione nulla e che non devono essere parallele a $q$
Risposte
"john_titor20":Sicuramente queste varietà lineari affini sono perpendicolari; ma che dimensione ha \(\displaystyle pi\)?
...il piano \( \displaystyle pi\perp r\) sarà $ 2t+x-y+2/3 z-5/3=0 $...
Tornando alle richieste dell'esercizio, quale può essere lo spazio direttore di \(\displaystyle\pi\)? Come lo si calcolerebbe?
La dimensione di $pi$ dovrebbe essere $2$ essendo un piano.
Lo spazio direttore di \( \displaystyle\pi \) invece dovrebbe essere $(2, 1, -1, 2/3)$? O sto facendo confusione con altro?
Lo spazio direttore di \( \displaystyle\pi \) invece dovrebbe essere $(2, 1, -1, 2/3)$? O sto facendo confusione con altro?
Secondo me sei cotto... Armando ti sta facendo lavorare troppo 
Una retta in $RR^3$ è data dall'intersezione di due piani.
In $RR^4$ invece dall'intersezione di 3 iperpiani (e infatti hai tre equazioni di 3 iperpiani di dimensione 3).
Un piano in $RR^4$ è dato dall'intersezione di 2 iperpiani.
Ora, hai trovato la direzione della retta r (e potresti moltiplicarla per 3 per togliere quell'orribile frazione).
La retta $r$ essendo intersezione dei 3 iperpiani è contenuta da tutti e 3.
I coefficienti dei tre iperpiani non sono altro che le direzioni perpendicolari ai rispettivi iperpiani.
Quindi (come potrai verificare da te) sono perpendicolari anche alla retta r.
Quindi hai ben 3 direzioni già belle e pronte per definire un piano e una retta perpendicolari alla retta $r$...usale.
E visto il secondo punto del problema, io userei due direzioni per il piano $pi$ e la terza per la retta $s$.
Sommi il punto alle combinazioni lineari e ottieni due forme parametriche che soddisfano la richiesta.
Da la troverai le forme cartesiane.
Una retta in $RR^3$ è data dall'intersezione di due piani.
In $RR^4$ invece dall'intersezione di 3 iperpiani (e infatti hai tre equazioni di 3 iperpiani di dimensione 3).
Un piano in $RR^4$ è dato dall'intersezione di 2 iperpiani.
Ora, hai trovato la direzione della retta r (e potresti moltiplicarla per 3 per togliere quell'orribile frazione).
La retta $r$ essendo intersezione dei 3 iperpiani è contenuta da tutti e 3.
I coefficienti dei tre iperpiani non sono altro che le direzioni perpendicolari ai rispettivi iperpiani.
Quindi (come potrai verificare da te) sono perpendicolari anche alla retta r.
Quindi hai ben 3 direzioni già belle e pronte per definire un piano e una retta perpendicolari alla retta $r$...usale.
E visto il secondo punto del problema, io userei due direzioni per il piano $pi$ e la terza per la retta $s$.
Sommi il punto alle combinazioni lineari e ottieni due forme parametriche che soddisfano la richiesta.
Da la troverai le forme cartesiane.
"Bokonon":Mi sono impegnato a farli lavorare il giusto.
Secondo me sei cotto... Armando ti sta facendo lavorare troppo
"Bokonon":In breve: basta ri-leggere Rouché-Capelli in chiave geometrica, e si capisce sùbito (e più in generale) "quante equazioni ci servono".
[...]Una retta in $ RR^3 $ è data dall'intersezione di due piani.
In $ RR^4 $ invece dall'intersezione di 3 iperpiani (e infatti hai tre equazioni di 3 iperpiani di dimensione 3).
Un piano in $ RR^4 $ è dato dall'intersezione di 2 iperpiani. [...]
[ot]Non ho spiegato a lezione il legame tra ortogonalità e coefficienti... 
[/ot]Un'altra possibile soluzione, consiste nel trovare le direzioni ortogonali al vettore \(\displaystyle\underline{\lambda}_r=(6,3,-3,2)\); ovvero determinare una base dello spazio vettoriale\[
\langle\underline{\lambda}_r\rangle^{\perp}=\{\underline{v}\in\mathbb{R}^4\mid\underline{v}\cdot\underline{\lambda}_r=0\},
\]
e poi procedere come ha indicato Bokonon.
@j18eos
Beh anche loro potrebbero realizzare da soli che un'equazione non è altro che un sistema omogeneo
$(c_0, c_1,..., c_n)^T(x_1, x_2,...,x_n)=0$
e il resto è una traslazione.
Ma forse la ragione per cui non lo vedono è perché pare quasi che in Italia si vogliano tenere nascoste le visioni geometriche (sono polemico!).
Ogni tanto, magari, fare un riepilogo puramente geometrico non guasterebbe imho (vedi il thread sulla norma, in cui lo studente non vede neppure più l'idea di fondo dell'algebra lineare come strumento per "isomorfismo").
Beh anche loro potrebbero realizzare da soli che un'equazione non è altro che un sistema omogeneo
$(c_0, c_1,..., c_n)^T(x_1, x_2,...,x_n)=0$
e il resto è una traslazione.
Ma forse la ragione per cui non lo vedono è perché pare quasi che in Italia si vogliano tenere nascoste le visioni geometriche (sono polemico!).
Ogni tanto, magari, fare un riepilogo puramente geometrico non guasterebbe imho (vedi il thread sulla norma, in cui lo studente non vede neppure più l'idea di fondo dell'algebra lineare come strumento per "isomorfismo").
[ot]Più di affermare a ogni lezione che l'algebra lineare la si usa per fare geometria, e strutturare tutta la geometria affine sugli spazi vettoriali: non mi sono venute altre idee...
Si arriva all'esame, e pretendo che si faccia l'uso di sopra; se poi si vogliono ostinare a ragionare in \(\displaystyle\mathbb{E}^3\), ignorando l'interpretazione geometrica di Rouché-Capelli in dimensione qualsiasi: io boccio.[/ot]...e se vuoi proseguiamo in privato.
Si arriva all'esame, e pretendo che si faccia l'uso di sopra; se poi si vogliono ostinare a ragionare in \(\displaystyle\mathbb{E}^3\), ignorando l'interpretazione geometrica di Rouché-Capelli in dimensione qualsiasi: io boccio.[/ot]...e se vuoi proseguiamo in privato.
Le 3 direzioni dovrebbero dunque essere $(-1, 2, 0, 0)$, $(0, 0, 2, 3)$ e $(0, 0, 1, 1)$
Tuttavia non ho capito bene questo passaggio, forse per qualche mia laguna sulle combinazioni lineari, ma se utilizzo $(-1, 2, 0, 0)$ e $(0, 0, 2, 3)$ e somma il punto $(0, 0, -1, 1)$ ottengo \(\displaystyle t-2x+2y-3z=0 \)
che non è un fascio di piani?
"Bokonon":
Sommi il punto alle combinazioni lineari e ottieni due forme parametriche che soddisfano la richiesta.
Da la troverai le forme cartesiane.
Tuttavia non ho capito bene questo passaggio, forse per qualche mia laguna sulle combinazioni lineari, ma se utilizzo $(-1, 2, 0, 0)$ e $(0, 0, 2, 3)$ e somma il punto $(0, 0, -1, 1)$ ottengo \(\displaystyle t-2x+2y-3z=0 \)
che non è un fascio di piani?
$ ( ( t ),( x ),( y ),( z ) )=alpha( ( -1 ),( 2 ),( 0 ),( 0 ) )+beta( ( 0 ),( 0 ),( 2 ),( 3 ) )+( ( 0 ),( 0 ),( -1 ),( 1 ) ) $
Risolvendo il sistema ottengo due equazioni:
$ pi:{ ( 2t+x=0 ),( 3y-2z+5=0 ):} $
P.S. @armando
Risolvendo il sistema ottengo due equazioni:
$ pi:{ ( 2t+x=0 ),( 3y-2z+5=0 ):} $
P.S. @armando
"Bokonon":
]Quindi hai ben 3 direzioni già belle e pronte per definire un piano e una retta perpendicolari alla retta r...usale.
E visto il secondo punto del problema, io userei due direzioni per il piano π e la terza per la retta s.
e dunque riprendendo ciò che mi hai detto qui la retta sarà data da
$ ( ( t ),( x ),( y ),( z ) )=gamma((0) , (0), (1), (1)) +( ( 0 ),( 0 ),( -1 ),( 1 ) ) $
e risolvendo il sistema dovrebbe uscire $z-y-2=0$
tuttavia prima mi hai detto
"Bokonon":
Una retta in $RR^3$ è data dall'intersezione di due piani.
In $RR^4$ invece dall'intersezione di 3 iperpiani (e infatti hai tre equazioni di 3 iperpiani di dimensione 3.
quindi c'è qualcos'altro che mi sfugge o ho sbagliato la retta?
E invece per il punto 2?
Sì, ma \(\displaystyle t\) e \(\displaystyle x\) sono "libere", oppure sono costanti?
sono costanti e valgono 0
Esatto, quindi ottiene un sistema di tre equazioni lineari, il cui rango è \(\displaystyle3\) (esercizio), quindi quella è la rappresentazione cartesiana di una retta.
ok quindi la mia retta è
$s$: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} t=0 &\\ x=0 &\\ z-y-2=0 & \end{array}\right.\)
ed invece per la seconda parte dell'esercizio?
$s$: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} t=0 &\\ x=0 &\\ z-y-2=0 & \end{array}\right.\)
ed invece per la seconda parte dell'esercizio?
Chiedo scusa: penso che ci sia un errore scemo nello svolgimento, ovvero il seguente
Quindi la retta \(\displaystyle s\) è rappresentata cartesianamente dal sistema di equazioni lineari (controllare i calcoli):
\[
\begin{cases}
t=0\\
y-x=-1\\
z=-1
\end{cases}.
\]
Sistemato ciò, bisogna innanzi tutto scegliere la direzione di \(\displaystyle q\) in modo che sia parallela a \(\displaystyle\pi\); ma è facile dato che si conoscono i vettori generatori degli spazi direttori.
Quale potrebbe essere una possibile scelta?
"john_titor20":Essendo le coordinate \(\displaystyle(t,x,y,z)\), seguendo il trucco suggerito da Bokonon, i vettori con cui lavorare sono \(\displaystyle(-1,2,0,0),(0,0,2,3),(0,1,1,0)\)!
Le 3 direzioni dovrebbero dunque essere $ (-1, 2, 0, 0) $, $ (0, 0, 2, 3) $ e $ (0, 0, 1, 1) $ [...]
Quindi la retta \(\displaystyle s\) è rappresentata cartesianamente dal sistema di equazioni lineari (controllare i calcoli):
\[
\begin{cases}
t=0\\
y-x=-1\\
z=-1
\end{cases}.
\]
Sistemato ciò, bisogna innanzi tutto scegliere la direzione di \(\displaystyle q\) in modo che sia parallela a \(\displaystyle\pi\); ma è facile dato che si conoscono i vettori generatori degli spazi direttori.
Quale potrebbe essere una possibile scelta?
Forse sbaglierò, ma credo basti prendere un vettore linearmente dipendente da uno dei due vettori direttori del piano, ad esempio che sia il doppio?
ed inoltre si potrebbe ottenere una verifica con Rouchè-Capelli verificando che il $rank(A)\ne rank(A|b)$, dove $A$ è la matrice con i "coefficienti" della retta e del piano?
ed inoltre si potrebbe ottenere una verifica con Rouchè-Capelli verificando che il $rank(A)\ne rank(A|b)$, dove $A$ è la matrice con i "coefficienti" della retta e del piano?
Scelta assolutamente corretta!
...non ho capìto poi il ragionamento con Rouché-Capelli.
...non ho capìto poi il ragionamento con Rouché-Capelli.
Mi spiego meglio:
preso il piano $pi:{ ( 2t+x=0 ),( 3y-2z+5=0 ):}$ esso può essere scritto come $pi:{ ( t=alpha ),( x=alpha/2 ),(y=beta), (z=3/2 beta+5/2):}$ i cui vettori direttori sono $(2alpha, alpha, 0, 0)$ e $(0,0, 2beta, 3beta)$.
prendendo $(2alpha, alpha, 0, 0)$ si può ottenere la retta $q: {(t=4),(x=2),(y=z), (z=0):}$
Ora se io all'interno di una matrice inserissi i coefficienti del piano e della retta, notando che il rango $ rank(A)\ne rank(A|b) $, sarebbe un ulteriore conferma del parallelismo tra retta e piano siccome i due sistemi sarebbero incompatibili?
E quali altre condizioni dovrebbe avere la retta q affinché sia anche sghemba a r e s
preso il piano $pi:{ ( 2t+x=0 ),( 3y-2z+5=0 ):}$ esso può essere scritto come $pi:{ ( t=alpha ),( x=alpha/2 ),(y=beta), (z=3/2 beta+5/2):}$ i cui vettori direttori sono $(2alpha, alpha, 0, 0)$ e $(0,0, 2beta, 3beta)$.
prendendo $(2alpha, alpha, 0, 0)$ si può ottenere la retta $q: {(t=4),(x=2),(y=z), (z=0):}$
Ora se io all'interno di una matrice inserissi i coefficienti del piano e della retta, notando che il rango $ rank(A)\ne rank(A|b) $, sarebbe un ulteriore conferma del parallelismo tra retta e piano siccome i due sistemi sarebbero incompatibili?
E quali altre condizioni dovrebbe avere la retta q affinché sia anche sghemba a r e s
Veramente \(\displaystyle q\) avrebbe rappresentazione parametrica:
\[
\begin{cases}
t=2\alpha+t_0\\
x=\alpha+x_0\\
y=0\alpha+y_0\\
z=0\alpha+z_0
\end{cases}
\]
con \(\displaystyle(t_0,x_0,y_0,z_0)\) punto da scegliere... e si passa alla rappresentazione cartesiana.
Per come scelti i numeri direttori: \(\displaystyle q\) e \(\displaystyle\pi\) sono paralleli.
La domanda è: quale punto bisogna scegliere affinché \(\displaystyle q\) sia sghemba con \(\displaystyle r\) ed \(\displaystyle s\)? Qui si potrebbe utilizzare Rouché-Capelli, una volta scritte le rappresentazioni cartesiane di queste rette!
\[
\begin{cases}
t=2\alpha+t_0\\
x=\alpha+x_0\\
y=0\alpha+y_0\\
z=0\alpha+z_0
\end{cases}
\]
con \(\displaystyle(t_0,x_0,y_0,z_0)\) punto da scegliere... e si passa alla rappresentazione cartesiana.
Per come scelti i numeri direttori: \(\displaystyle q\) e \(\displaystyle\pi\) sono paralleli.
La domanda è: quale punto bisogna scegliere affinché \(\displaystyle q\) sia sghemba con \(\displaystyle r\) ed \(\displaystyle s\)? Qui si potrebbe utilizzare Rouché-Capelli, una volta scritte le rappresentazioni cartesiane di queste rette!
Mi corregga se sbaglio, due rette sono sghembe se e solo se esse non sono né incidenti né parallele, di conseguenza i punti $t_0,x_0,y_0,z_0$ di $q$ devono essere diversi e indipendenti da quelli di $s$ e $r$
Prese perciò le rette $s$ \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} t=0 &\\ x=b &\\ y=-1+b &\\z=-1 & \end{array}\right.\)
e $r$ \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} t=2a &\\ x=a &\\ y=-1-a &\\z=1+2/3 a & \end{array}\right.\)
$t_0,x_0,y_0,z_0$ potrebbero perciò essere $(2, 3, 1, 2)$ e la retta $q$ sarebbe\[ \begin{cases} t=2\alpha+2\\ x=\alpha+3\\ y=0\alpha+1\\ z=0\alpha+2\end{cases} \]
Prese perciò le rette $s$ \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} t=0 &\\ x=b &\\ y=-1+b &\\z=-1 & \end{array}\right.\)
e $r$ \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} t=2a &\\ x=a &\\ y=-1-a &\\z=1+2/3 a & \end{array}\right.\)
$t_0,x_0,y_0,z_0$ potrebbero perciò essere $(2, 3, 1, 2)$ e la retta $q$ sarebbe\[ \begin{cases} t=2\alpha+2\\ x=\alpha+3\\ y=0\alpha+1\\ z=0\alpha+2\end{cases} \]
La scelta è sensata; ma bisogna controllare se funziona.
Enjoy it!
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