Retta parallela ad un piano, sghemba con r e s
Salve a tutti, vorrei avere per favore un aiuto su quest'esercizio:
Considerata la retta $r$: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} 2x-t=0 &\\ 3z+2y=1 &\\ x+y=-1 & \end{array}\right.\)
Determinare
a) una retta $s$ e un piano $pi$, entrambi ortogonali a $r$ ed aventi $(0, 0, -1, 1)$ come unico punto in comune
b) una retta $q$ parallela a $pi$, sghemba con r e s
Ora per il punto a credo di averlo risolto bene (o almeno spero, anche se non sono sicuro) eseguendo i seguenti passaggi:
Ho trovato prima il piano \(\displaystyle pi\perp r \)
Siccome i numeri direttori di $r$ risultano essere da \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} t=2a &\\ x=a &\\ y=-1-a &\\z=1+2/3 a & \end{array}\right.\) $(2, 1, -1, 2/3)$
il piano \(\displaystyle pi\perp r \) sarà $2t+x-y+2/3 z-5/3=0$
mentre la retta \(\displaystyle s\perp r \) mi trovo omettendo i calcoli (anche perché credo sia sbagliata)
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} y=-1 &\\z=1 & \end{array}\right.\)
Per il punto b non ho proprio idea di come fare, so solo che \(\displaystyle q\parallel pi \) se la loro intersezione è nulla e che le rette $r$ e $s$ saranno sghembe a $q$ se intersecate con $q$daranno intersezione nulla e che non devono essere parallele a $q$
Considerata la retta $r$: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} 2x-t=0 &\\ 3z+2y=1 &\\ x+y=-1 & \end{array}\right.\)
Determinare
a) una retta $s$ e un piano $pi$, entrambi ortogonali a $r$ ed aventi $(0, 0, -1, 1)$ come unico punto in comune
b) una retta $q$ parallela a $pi$, sghemba con r e s
Ora per il punto a credo di averlo risolto bene (o almeno spero, anche se non sono sicuro) eseguendo i seguenti passaggi:
Ho trovato prima il piano \(\displaystyle pi\perp r \)
Siccome i numeri direttori di $r$ risultano essere da \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} t=2a &\\ x=a &\\ y=-1-a &\\z=1+2/3 a & \end{array}\right.\) $(2, 1, -1, 2/3)$
il piano \(\displaystyle pi\perp r \) sarà $2t+x-y+2/3 z-5/3=0$
mentre la retta \(\displaystyle s\perp r \) mi trovo omettendo i calcoli (anche perché credo sia sbagliata)
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} y=-1 &\\z=1 & \end{array}\right.\)
Per il punto b non ho proprio idea di come fare, so solo che \(\displaystyle q\parallel pi \) se la loro intersezione è nulla e che le rette $r$ e $s$ saranno sghembe a $q$ se intersecate con $q$daranno intersezione nulla e che non devono essere parallele a $q$
Risposte
@titor
A fronte di infinite scelte si può essere anche furbetti
Per esempio, se prendo una direzione del piano già conosciuta come $(-1,2,0,0)$ e faccio passare la retta q per l'origine (perché so che sarà parallela al piano $pi$ e non sarà contenuta in esso), allora avrò un insieme di punti per cui $y=z=0$.
Sostituendo questa particolare condizione nelle forme cartesiane delle altre due rette si vede subito che esse non contengono manco un punto con questa caratteristica.
A fronte di infinite scelte si può essere anche furbetti
Per esempio, se prendo una direzione del piano già conosciuta come $(-1,2,0,0)$ e faccio passare la retta q per l'origine (perché so che sarà parallela al piano $pi$ e non sarà contenuta in esso), allora avrò un insieme di punti per cui $y=z=0$.
Sostituendo questa particolare condizione nelle forme cartesiane delle altre due rette si vede subito che esse non contengono manco un punto con questa caratteristica.
Perfetto, grazie ad entrambi 
Prego, di nulla!
[ot]...e se ci vedremo lunedì all'appello d'esame: si prenda la domenica libera, e si rilassi.
[/ot]
[ot]...e se ci vedremo lunedì all'appello d'esame: si prenda la domenica libera, e si rilassi.
[/ot]
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