Retta parallela ad un piano che poggia sull'asse z
fissato nello spazio un sistema di riferimento ortonormale, si considerino il piano $p:2x-y+2z=1$ e il punto $ C(3,0,2)$
Si determini la retta t passante per C, parallela al piano e che si appoggia all'asse z.
parziale soluzione: I vettori direttori del piano sono dati dalle soluzioni dell'equazione omogenea associata al piano $2l-m+2n=0$; equazione che dovrei mettere a sistema con l'omogenea associata che rappresenta i vettori che si appoggiano all'asse z per trovare il vettore direttore della retta t. Il problema è che ho difficoltà a tradurre in italiano la consegna, ovvero non riesco a scrivere un vettore che "si appoggia all'asse z". Qualche idea?
Grazie in anticipo
Si determini la retta t passante per C, parallela al piano e che si appoggia all'asse z.
parziale soluzione: I vettori direttori del piano sono dati dalle soluzioni dell'equazione omogenea associata al piano $2l-m+2n=0$; equazione che dovrei mettere a sistema con l'omogenea associata che rappresenta i vettori che si appoggiano all'asse z per trovare il vettore direttore della retta t. Il problema è che ho difficoltà a tradurre in italiano la consegna, ovvero non riesco a scrivere un vettore che "si appoggia all'asse z". Qualche idea?
Grazie in anticipo
Risposte
scusa la domanda stupida, ma che vuol dire che si appoggia?
Per i primi due punti fa così: prendi un piano parallelo a $pi$ che passi per $C$ la tua retta giacerà lì sopra. La condizione dell'appoggio proviamo a farla una volta che ne capisco il significato.
EDIT non avevo letto tutto quello che dicevi. Appoggio vuol dire forse incidente?!
Per i primi due punti fa così: prendi un piano parallelo a $pi$ che passi per $C$ la tua retta giacerà lì sopra. La condizione dell'appoggio proviamo a farla una volta che ne capisco il significato.
EDIT non avevo letto tutto quello che dicevi. Appoggio vuol dire forse incidente?!
giuro che se lo sapessi te lo direi!!! 
A nessuno è mai capitato un esercizio come questo?
o almeno qualcuno vuole azzardare una possibile soluzione? se non fosse chiaro non ho la minima idea di come tramutare in formula quella condizione, quindi anche ragionare insieme potrebbe essere utile.
o almeno qualcuno vuole azzardare una possibile soluzione? se non fosse chiaro non ho la minima idea di come tramutare in formula quella condizione, quindi anche ragionare insieme potrebbe essere utile.
appoggiare vuol dire incidente.Comunque tale retta e' formata da un piano passante per $C$ e parallelo al piano:$2x-y+2z=1$ e dal piano passante per $C$ e per l'asse $z$.
il piano parallelo e':$2(x-3)-1(y-0)+2(z-2)=0$
il piano generico per $z$ e':$x+ky=0$.imponi il passaggio per $C$ per trovare $k$.la retta e' quindi rappresentata da questi piani.
il piano parallelo e':$2(x-3)-1(y-0)+2(z-2)=0$
il piano generico per $z$ e':$x+ky=0$.imponi il passaggio per $C$ per trovare $k$.la retta e' quindi rappresentata da questi piani.
Mi sono perso quando hai scritto il piano generico per z... 
potresti spiegarmi meglio i passaggi per favore??
dico la mia, visto che ci ho pensato un po' su ieri: potrei intersecare il piano parallelo a $pi$ con l'asse z, e poi calcolare la retta passante per C e il punto trovato... solo che non so come scrivere l'equazione dell'asse z
potresti spiegarmi meglio i passaggi per favore??
dico la mia, visto che ci ho pensato un po' su ieri: potrei intersecare il piano parallelo a $pi$ con l'asse z, e poi calcolare la retta passante per C e il punto trovato... solo che non so come scrivere l'equazione dell'asse z
Oppure, considera il piano per $C$ parallelo a $pi$, e considera $H$ il punto di intersezione dell'asse z con il piano considerato.
La retta sarà la retta $[CH]$
La retta sarà la retta $[CH]$
si, era proprio quello che avevo pensato, ma come lo trovo $H$??? dovrei fare l'intersezione tra l'equazione di un piano e una retta che è in particolare l'asse delle z.
Può essere $v=0i+0j+n=0$ la giacitura dell'asse z?
Può essere $v=0i+0j+n=0$ la giacitura dell'asse z?
Basta mettere a sistema le equazioni cartesiane della retta e del piano
Il mio problema sta nel trovare la retta che rappresenta l'asse z.
Per analogia con gli assi nel riferimento standard di $E_2$ dire che asse z (nel quale varia solo la quota) non potrà che avere equazione $\{(x=0),(y=0):}$ 
ok, quindi è corretto se prendo $(0,0,1)$ come coefficienti di un vettore direttore dell'asse z??
Nella risoluzione che ti ho proposto i vettori direttori non servono a nulla.
Comunque sì, quelli sono i vettori direttori dell'asse z
Comunque sì, quelli sono i vettori direttori dell'asse z
Come non servono?
Come ti trovi il punto $H$ se no0n mettendo a sistema il piano $pi$ e l'asse delle z?
Come ti trovi il punto $H$ se no0n mettendo a sistema il piano $pi$ e l'asse delle z?
un altro metodo:
trova sempre il piano parallelo a $2x-y+2z=1$ per $C$,cioe' $2(x-3)-(y-0)+2(z-2)=0$
interseca tale piano con la retta $x=0,y=0,z=h$ che e' l'asse $z$.trovi $h$ e quindi il punto d'intersezione $A=(0,0,h)$
poi fai il vettore $\vec CA$ trovando i parametri direttori della retta cercata.
oppure:
i punti dell'asse $z$ ha paramnetri:$P=(0,0h)$
fai il vettore $\vec PC=(3-0,0-0,2-h)$ che affinche' sia parallela al piano :$2x-y+2z=1$ deve essere:$al+bm+cn=0$ cioe'
$2*3-1*0+2*(2-h)=0$ da cui ricavi $h$ e fai l'equazione della retta.
trova sempre il piano parallelo a $2x-y+2z=1$ per $C$,cioe' $2(x-3)-(y-0)+2(z-2)=0$
interseca tale piano con la retta $x=0,y=0,z=h$ che e' l'asse $z$.trovi $h$ e quindi il punto d'intersezione $A=(0,0,h)$
poi fai il vettore $\vec CA$ trovando i parametri direttori della retta cercata.
oppure:
i punti dell'asse $z$ ha paramnetri:$P=(0,0h)$
fai il vettore $\vec PC=(3-0,0-0,2-h)$ che affinche' sia parallela al piano :$2x-y+2z=1$ deve essere:$al+bm+cn=0$ cioe'
$2*3-1*0+2*(2-h)=0$ da cui ricavi $h$ e fai l'equazione della retta.
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