Retta contenuta in una superficie
ciao a tutti
devo trovare una retta qualsiasi che sia contenuta nella superficie $x^2+2yz=0$
non ho idee sul da farsi...
devo trovare una retta qualsiasi che sia contenuta nella superficie $x^2+2yz=0$
non ho idee sul da farsi...
Risposte
Prova con gli assi coordinati. Chissà che almeno uno non faccia al caso tuo.
"dissonance":
Prova con gli assi coordinati. Chissà che almeno uno non faccia al caso tuo.
mmm non ne abbiamo ancora parlato a lezione... un metodo pratico?
Questo non è un esercizio standard, non c'è un procedimento meccanico da mandare a mente, devi ragionare sul caso specifico (per inciso - questa è una cosa che andrebbe fatta sempre, a mio parere).
Chiediti:
1) come faccio, nota l'equazione di una retta, a stabilire se essa è contenuta nella superficie data?
2) quali sono le equazioni degli assi coordinati? Gli assi coordinati sono l'asse delle $x$, l'asse delle $y$, l'asse delle $z$.
3) uno di questi tre assi risolve il mio problema?
Chiediti:
1) come faccio, nota l'equazione di una retta, a stabilire se essa è contenuta nella superficie data?
2) quali sono le equazioni degli assi coordinati? Gli assi coordinati sono l'asse delle $x$, l'asse delle $y$, l'asse delle $z$.
3) uno di questi tre assi risolve il mio problema?
"dissonance":
Questo non è un esercizio standard, non c'è un procedimento meccanico da mandare a mente, devi ragionare sul caso specifico (per inciso - questa è una cosa che andrebbe fatta sempre, a mio parere).
Chiediti:
1) come faccio, nota l'equazione di una retta, a stabilire se essa è contenuta nella superficie data?
2) quali sono le equazioni degli assi coordinati? Gli assi coordinati sono l'asse delle $x$, l'asse delle $y$, l'asse delle $z$.
3) uno di questi tre assi risolve il mio problema?
1) una retta è contenuta in una superficie solo se, andando a sostituire i parametri della retta all'interno della superficie, mi verifica il sistema 0=0
2)come si trovano gli assi coordinati di una superficie
?mi viene anche solo difficile venire a pensare a degli assi per una superficie che mi sembra irregolare.
No, gli "assi coordinati" non c'entrano nulla con la superficie: si tratta dell'asse delle $x$, l'asse delle $y$, l'asse delle $z$.
Pensala così, una retta è contenuta in una superficie se ogni punto della retta è soluzione dell'equazione della superficie...
Metti insieme ciò che ti ha detto dissonance... hai la soluzione davanti agli occhi (anzi a dirla tutta due soluzioni comode comode)
Metti insieme ciò che ti ha detto dissonance... hai la soluzione davanti agli occhi (anzi a dirla tutta due soluzioni comode comode)
"mistake89":
Pensala così, una retta è contenuta in una superficie se ogni punto della retta è soluzione dell'equazione della superficie...
Metti insieme ciò che ti ha detto dissonance... hai la soluzione davanti agli occhi (anzi a dirla tutta due soluzioni comode comode)
uhm...
una retta contenuta tutta nella superficie dovrebbe passare per forza dal punto di minimo $(0,0,0)$ o sbaglio?
in tal caso, a partire dalla retta generica passante per $O$ : $\{(x = at),(y = bt),(z = ct):}$ , dovrei sostituirla all'interno della superficie.
ottengo così $a^2t^2+bct^2=0$
raccolgo $t^2$ e mi salta fuori $t^2(a^2+bc)=0$ di cui francamente non so che farmene
"Punto di minimo" di che? Comunque ti sbagli, una retta contenuta nella superficie non ha nessun obbligo di passare dall'origine. Come ti è venuta questa idea?
Ma invece di fare questi conti, non è più semplice provare prima con delle rette "facili"? L'asse delle $y$, per esempio. Qual è l'equazione dell'asse delle $y$? Te lo dico io: ${(x=0), (z=0):}$. Vedi un po'...
Ma invece di fare questi conti, non è più semplice provare prima con delle rette "facili"? L'asse delle $y$, per esempio. Qual è l'equazione dell'asse delle $y$? Te lo dico io: ${(x=0), (z=0):}$. Vedi un po'...
"dissonance":
"Punto di minimo" di che? Comunque ti sbagli, una retta contenuta nella superficie non ha nessun obbligo di passare dall'origine. Come ti è venuta questa idea?
Ma invece di fare questi conti, non è più semplice provare prima con delle rette "facili"? L'asse delle $y$, per esempio. Qual è l'equazione dell'asse delle $y$? Te lo dico io: ${(x=0), (z=0):}$. Vedi un po'...
quindi soluzioni del mio problema potrebbero essere $y=0$ o $z=0$. giusto?
Scusami il punto $(1,0,0)$ appartiene alla tua superficie? A me pare di no!
La soluzione te l'ha scritta Dissonance.
La soluzione te l'ha scritta Dissonance.
"gtsolid":
ciao a tutti
devo trovare una retta qualsiasi che sia contenuta nella superficie $x^2+2yz=0$
non ho idee sul da farsi...
Vediamo una soluzione più generale di quella data...
La retta è $r(t) = {(x = at + P_x),(y = bt + P_y),(z = ct + P_z):}$
La condizione quindi diventa $(at + P_x)^2 + 2(bt + P_y)(ct + P_z) = 0$ cioé risolvendo $a^2t^2 + P_x^2 + 2aP_xt + 2(bct^2 + bP_zt + cPyt + P_yP_z) = 0$
Raccogliamo quindi le $t$:
$(a^2 + 2bc)t^2 + 2(aP_x + bP_z + cP_y)t + (P_x^2 + 2P_yP_z) = 0$
Siccome questo polinomio deve essere 0 qualsiasi t abbiamo:
${(a^2 + 2bc = 0),(aP_x + bP_z + cP_y = 0),(P_x^2 + 2P_yP_z=0):}$
L'ultima condizione dice solo che $P$ deve essere sulla superficie...
Rimane comunque il fatto che se te ne chiede una generalmente è semplice calcolarla da ragionamenti diretti rispetto che passare dalla forma generale...
Ciao a tutti,
la superficie in questione e quella di un cono e lo capiamo applicando la definizione di equazione omogenea
sia f(x,y,z) si dice omogenea in x,y,z (di grado p) se
f(kx,ky,kz) = k^p f (x,y,z)
Quindi applicando la definizione
(x)^(2)+2yz=0
avremo che:
(kx)^2+2(kykz) = k^2x^2+(k^2yz) = k^2(x^2+2yz)
quindi siamo in presenza di una conica con vertice centrato in V(0,0,0) (come tutti i coni di equazione omogenea)
ci bastera trovare una delle generatrici e avremo una delle rette che passano per la superficie
prendiamo un punto ad esempio 2,-1,2
che inserito nell'equazione della superficie f(2,-1,2) = 2^2+2(-1)2=0
trovato un punto che fa parte della direttrice applichiamo la formula per trovare e avendo gia il vertice vi possiamo applicare la formula per trovare le generatrici dei coni:
x=a+(x(t0)-a)s x=2ts
y=b+(y(t0)-b)s che ci darà y=-ts
z=c+(z(t0)-c)s z=2ts
che proprio l'equazione in forma parametrica di una delle retta che passa per la superficie S nn che direttrice della stessa.
la superficie in questione e quella di un cono e lo capiamo applicando la definizione di equazione omogenea
sia f(x,y,z) si dice omogenea in x,y,z (di grado p) se
f(kx,ky,kz) = k^p f (x,y,z)
Quindi applicando la definizione
(x)^(2)+2yz=0
avremo che:
(kx)^2+2(kykz) = k^2x^2+(k^2yz) = k^2(x^2+2yz)
quindi siamo in presenza di una conica con vertice centrato in V(0,0,0) (come tutti i coni di equazione omogenea)
ci bastera trovare una delle generatrici e avremo una delle rette che passano per la superficie
prendiamo un punto ad esempio 2,-1,2
che inserito nell'equazione della superficie f(2,-1,2) = 2^2+2(-1)2=0
trovato un punto che fa parte della direttrice applichiamo la formula per trovare e avendo gia il vertice vi possiamo applicare la formula per trovare le generatrici dei coni:
x=a+(x(t0)-a)s x=2ts
y=b+(y(t0)-b)s che ci darà y=-ts
z=c+(z(t0)-c)s z=2ts
che proprio l'equazione in forma parametrica di una delle retta che passa per la superficie S nn che direttrice della stessa.
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