Retroimmagine

[_Tipper]

Potreste dirmi come procedere per svolgere questo esercizio di algebra lineare?
Sia fi un'applicazione lineare rappresentata da questa matrice:

1       1/2       -1       1
1/3     2          1       -1
1        1         -1       -1
4        4          0       -1

Il ker è la retta originata dal vettore (3,-4,3,-4) mentre l'immagine è 2x1 + 3x2 + x3 - 2x2 = 0
Descrivere la retroimmagine mediante fi del'iperpiano x1 - 2x2 + 3x3 - 4x4 = 5
Come si fa?

Grazie

[Camillo]

Non mi sembra corretto il ker che indichi in quanto la matrice ha rango 4 e quindi ker = vettore nullo.
Inoltre dim im fi = 4 .

la controiimagine dell'iperpiano $x1-2x2+3x3-4x4-5= = $ la ottieni considerando che :
$x1' = x1+1/2x2-x3+x4$ etc e sostituendo e arrivando SEO a questa equazione dell'iperpiano :
$ 76x1+99x2+36x3-96x4+30 = 0 $

[_Tipper]

Scusami, ho sbagliato a scrivere la matrice...

3     1/2      -1        1
1/3    2        1        -1
1       1       -1        -1
4       4        0        -1

Ora provo a fare come hai detto tu...
Grazie comunque per la risposta

[_Tipper]

Se ho capito bene dovrei fare così:

x1'=3x1+ 1/2 x2 -x3 +x4
x2'=1/3 x1 +2x2 +x3 -x4
x3'=x1 +x2 -x3 -x4
x4'=4x1 + 4x2 -x4
x1 - 2x2 + 3x3 -4x4 = 5

Trovo un'espressione in funzione delle variabili x1', x2', x3', x4', poi ho finito, giusto?

[Camillo]

Va poi aggiunto il vettore ker fi = $alpha(3,-4,3,-4) $ in quanto la soluzione generale, cioè la espressione più generale della controimmagine è data dalla somma di una soluzione particolare +il vettore ker fi (la cui immagine è appunto il vettore nullo).
Ho qualche dubbio sulla soluzione che ti ho accennato, vediamo se qualcuno conferma .

[_Tipper]

Il risultato che dà il libro è questo:


Io, dopo aver risolto il sistema, ho trovato questa equazione:
-64 x1 - 99 x2 - 36 x3 + 24 x4 = 30
per cui direi fin qui tutto ok,
ora mi manca da aggiungere il vettore ker fi = $alpha(3,-4,3,-4) $

come si fa?

Grazie